另类转化

转化是一种重要的解题策略，通过转化达到“化难为易”、“化繁为简”、“化未知为已知”的目的.例如：

如图1，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（选自北师大版八年级数学上册P13例题）

解决这类问题的策略是将空间的曲线问题转化为平面的线段问题，利用“两点之间，线段最短”及“勾股定理”使问题获得解决，如图2.

“将立体中无法解决的问题转化为平面上可解决的问题”，这是我们解决问题的常用策略！

那么，是否也有“将平面上无法解决的问题转化为立体上可解决的问题”的情形呢？回答是肯定的！请看下面的例子：

例1 只用圆规，画出一条线段.

“只用圆规画线段？”没听错吧！

你也许认为这是不可能的事，但我们确实能够做到！

我们知道，一张纸上有一条线段，若将这张纸卷成纸筒，那么这条线段就变成了曲线.反过来，再将纸筒展开铺成平面，曲线就又变成了线段.沿着这条思路，我们就能将“平面上用圆规画线段问题”转化成“曲面上用圆规画曲线问题”：

拿一个茶缸，在茶缸底部放一个和茶缸底面一样大小的圆形纸片，拿一张纸粘在茶缸的内壁上，用圆规的针脚钉在圆形纸片的圆心，圆规的另一脚在茶缸的内壁上画圆（如图3）.揭下茶缸内壁上的纸张，展开、铺平，这样就得到我们要画的线段！

例2 将圆规两个针脚间的距离固定为2a厘米，用这个固定了半径的圆规画一个半径为a厘米的半圆.

如果是在平面上，你不可能完成这个任务！但借助于立体的东西，却可以做到，请看：

拿一个长方体纸盒，在底面的一条棱上截取一条长度为2a厘米的线段AB，再以线段AB为一边做一个等边三角形ABO，以O为圆心开始在盒子的底面画圆，碰到棱上的A点后，则在直立的一面上继续画圆（如图4），则弧APB就是以C为圆心的半圆（说明：C是线段AB的中点），其半径为a厘米.

证明 因为△OCA和△OCP均为直角三角形（注意：△OCP是空间的直角三角形），OA=OP，OC为公共边，所以△OCA≌△OCP（HL）.所以CP=CA=12AB=a（厘米）.

感悟 学习数学需要思维灵活，大胆想象，勇于创新，不要受条条框框的局限和束缚，否则，你就无法突破固定的思维模式，你就无法在创新的道路上阔步前进！希望通过上面两个问题的解决对大家学习与思考数学有所启迪和帮助.作者简介 郑泉水，男，顺平县蒲阳镇人，1964年2月出生，中学高级教师，河北省优秀教师，保定市名师、优秀教研员、学术带头人，两次获保定市教学成绩学科优胜奖，在各级期刊发表文章160余篇.