数学变式教学的探索

俞志华

摘要：所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对情景、命题、问题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征;变换问题中的条件或结论;转换问题的内容和形式;合理构建实际应用的各种环境，使学生掌握数学对象的本质属性。“变式”教学有效“动态化”了数学的情景、概念、命题、问题和结论，让机械化的线性教学真实、灵活、开放，有效揭示了对象的本质属性，学生解决问题的能力得到了更广阔的提升。

关键词：数学变式;变式分类;设计考量

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2015）23-102-1

变式教学方法的分类

命题的变式初中教材的命题大部分以概念的形式出现。数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。

1.由具体或直观到抽象的变式引入概念。以《相似三角形》为例，先由生活中的直观材料组织学生已有的感性经验，使学生理解概念的具体含义;再利用不同的图形变式，建立由具体到抽象概念之间的过渡，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。

2.由正反向变式突出概念的本质属性。命题是一种外延性概念，每个命题都有一个明晰的边界，将命题的外延作为变异空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。正向变式是根据命题的外延集合的变式，反向变式是根据不属于概念的外延集合的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，其中包括用于揭示概念对立面，从而划清了与其他概念之间的边界，明确了概念的外延，以达到对数学概念本质特征的深刻理解。

图形的变式这种变式在我们日常教学中比较常见，即指保持图形的基本属性，改变图形的非本质属性而得到的变异图形，旨在让学生掌握图形的本质属性。

1.对于单独出现的几何概念基本图形的变式，对其位置或者形状进行变式。例如苏科版八年级6.3《一次函数的图像》第一课时，函数的表示有列表法，图像法，函数关系式三种不同的方法表示。对于从一次函数y=kx+b（k≠0）（式）到它具有什么样的函数图像（形）时，应该把握住数与形这两个概念的转变和练习，把握住数学思想。即对于一个自变量x，总有一个函数值y与之对应（函数的概念），用这一对有序实数（x，y）在平面直角坐标系中表示一个点的坐标，确定了那个点的位置，引导学生用多个点去描述图形的特征。接着变式为解决图像上的点（x，y）与函数关系式y=kx+b（k≠0）的关系，进而再解决判别已知点是否在函数图像上的问题。

2.对于例题、习题的图形的变式。把握住基本图形的本质和变式目的，体现联系和数学方法的灵活运用，达到培养学生数学思想的目的。例：已知正△ABC，以AC為腰作等腰△ACD，连接BD，CD，求∠BCD。本质是∠BCD是不变的，等于30°或者120°。设∠CAD=n°用参数思想和分类讨论的方法说明变化中的不变。用构建圆，用同弧所对圆周角和圆心角的关系，以及圆的内接四边形对角互补更能体现图形的本质属性。

课堂活动的变式教学中充分利用各种手段融合。数学活动的变异空间具有以下三个维度：操作材料、操作活动与理论应用。操作活动的变式取决于经验材料的变式。课例研究的结果表明：面向数学对象的直观的实物操作与非直观的意象操作是有效的操作方式，这两种操作方式的结合很好地促进了数学活动的完成。理论的应用兼顾横向与纵向的关联性问题，使得课堂教学保持了较大的信息容量。以苏科版八年级上3.1勾股定理的验证为例。结合猜想谈论，老师分发实物（几个全等的直角三角形），然后小组讨论，学生演示，教师讲解，小组再探讨等手段，围绕勾股定理本身，利用已有的知识经验，有效地形成新的知识。

例如在讲解三角形内角和结合角平分线为主线，探索角的关系时采取层次变式，渐入佳境。在△ABC中，∠A=40°：

（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC;

（2）如图（2）若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC;

（3）如图（3）若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC;

（4）根据上述三问的结果，当∠A=n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）.

在此基础上再变：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠ABO、∠ACO的平分线相交于点P，

∠A=40°，让学生思考∠BPC的度数;

变式教学的设计考量

变式教学作为揭示知识的发生过程以及延生的知识间的联系和区别，必然需要教师设置足够的时间，有目的性，有针对性，在适宜的时机呈现有效教学，同时注意变式的梯度，并非什么题目都要变式，或者远离本质去变，那样反而画蛇添足，淡化了的问题的本质。学生在变式教学过程中，教师可以体现学生的主体性而鼓励学生对问题进行变式和积极的评价，通过主体参与，暴露学生对问题本质的理解，更有利于知识的形成。利用变式教学，构建有价值的变式探索和研究，在研究中有意识地展示数学知识发生、发展和应用的过程，在教学中有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，从而以达到“触类旁通”，“不变应万变”的目的。