关于无平方因子数的分布

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关于无平方因子数的分布

刘华宁，董慧

(西北大学 数学学院，陕西 西安710127)

摘要：一个正整数n，如果不能被除1之外的任何完全平方数整除，就称为无平方因子数。文中利用平方筛法研究了无平方因子数的分布，并给出一个较强的渐近公式。

关键词：无平方因子数；平方筛法；指数和；渐近公式

收稿日期：2014-12-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11201370)；陕西省自然科学基金资助项目(2013JM1017,2014JM1007,2014KJXX-61)；陕西省教育厅专项科研基金资助项目(2013JK0558,2013JK0560)

作者简介：刘华宁，男，湖南永州人，西北大学教授，博士生导师，从事数论研究。

中图分类号：O156.4

On the distribution of square-free numbers

LIU Hua-ning, DONG Hui

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Abstract:A positive integer n is called square-free number if it is not divisible by a perfect square except 1. In this paper the distribution of square-free numbers is studied by using square sieve, deriving an asymptotic formula.

Key words: square-free number; square sieve; exponential sum; asymptotic formula

一个正整数n，如果不能被除1之外的任何完全平方数整除，就称为无平方因子数。设E(n)为无平方因子数的特征函数，即

由文献[1]可知

L.Mirsky文献[2]研究了有限差的无平方因子数对出现的频率，并证明了下面结论：

D.R.Heath-Brown文献[3]研究了不超过x的连续的无平方因子数，并得到渐近公式：

本文利用平方筛法与指数和进一步研究无平方因子数的分布，改进了L.Mirsky的结论，并给出一个较强的渐近公式。

其中O是绝对常数。

1定理1的证明——第一步

令E(n)为无平方因子数的特征函数，μ(n)为Möbius函数。不难得到

从而有

(1)

注意到

所以

其中d(n)为除数函数。

由Euler乘积可得

又由除数函数的性质有

因此

O(ylogx)。

(2)

另一方面，不难证明

记J=2a,K=2b，以及

(3)

联立式(2)～(3)可得

(4)

接下来估计N。不妨假设J≥K，另外一种情形同理可证。不难得到

记

则

(5)

P {p:p是素数，p⫮u,Q

其中Q满足(logx)2≤Q≤x。由于P～Q(logQ)-1，易知当|n|≥eP≥x2及n=0时，有w(n)=0。下面利用Heath-Brown的平方筛法。

由引理1可得

(6)

注意到

从而有

(7)

令∈>0。由文献[5]可知

对于q≤x1-∈以及(a,q)=1都成立。而对于(a,q)>1，不难证明

K-1x(logx)3。

(8)

(9)

联立式(5)～(9)可得

(10)

接下来将在第2节中证明一些关于指数和的结论，并在第3节中继续证明定理1。

2指数和的估计

本节研究一些指数和的估计。

定义1设a∈Z,m∈N ，满足(a,m)=1。令im(a)表示满足0≤b≤m-1且ab≡1(modm)的整数b。

引理2设p是一个素数，Q/R为Fp上的有理函数，且不恒为常数。令s为多项式R在Fp上的不同根的个数。设ψ是Fp上的非凡加法特征，则有

证 明参见文献[4]中的引理13。

引理3设p>2是一个素数，α≥1是一个整数。对于整数h,c及d，定义

则有

当α=1时，进一步有

证 明记(h，pα)=pβ。则

假设α=1且p|h。则有

(11)

假设α=1且p⫮h。那么

不难证明

当p|c且p⫮d时，有

(12)

如果p⫮c，p⫮d，由引理2可得

(13)

因此

(14)

联立式(11)和式(14)可得

引理4设p>2是一个素数，h,c,d为整数。定义

则有

证 明不难得到

以及

当1≤a≤p-1时，用b+ip(a)2h代换b可得

假设p|h，有

从而

(15)

假设p⫮h。由引理2，3和4可得

因此

(16)

由式(15)和式(16)可得

3定理1的证明——继续

不难证明

(17)

由三角恒等式可得

|S(u,pq;γ,δ)|=S1+S2+S3+S4，

(18)

其中

(19)

(20)

这里‖x‖表示从x到最近的整数之间的距离。

(21)

由式(20)～(21)，引理3及引理4可得

(22)

其中u1是所有满足p2‖u的素因子p2的乘积，ω(u1)表示u1的不同素因子的个数。同理可得

(23)

以及

(24)

(25)

则由式(17)，(18)，(22)～(25)可得

(26)

不难得到

(27)

此外还有

(28)

以及

(29)

联立式(26)～(29)可得

Q2(logx)6。

(30)

(31)

联立式(4)和式(31)，可得

取

有

(32)

4定理1的证明——最后一步

由N的定义可得

(33)

联立式(4)和式(33)，并取定

可得

(34)

此外由文献[1]的第4部分可知

(35)

由此由式(32)，(34)及式(35)可得

这就完成了定理1的证明。

参考文献：

[1]PAPPALARDIF.Asurveyonk-powerfreeness,RamanujanMath[J].SocLectNotesSer,2002,5:71-88.

[2]MIRSKYL.Onthefrequencyofpairsofsquare-freenumberswithagivendifference[J].BullAmerMathSoc,1949, 55:936-939.

[3]HEATH-BROWNDR.Thesquaresieveandconsecutivesquare-freenumbers[J].MathAnn, 1984,266:251-259.

[4]RIVATJ,SRKÖZYA.Modularconstructionsofpseudorandombinarysequenceswithcompositemoduli[J].PeriodMathHungar, 2005,51:75-107.

[5]SHIUP.ABrun-Titchmarshtheoremformultiplicativefunctions[J].JReineAngewMath,1980,313:161-170.

(编辑亢小玉)

刘华宁,教授,博士生导师。1979年10月生于湖南省永州市。1997.9—2001.7在西北大学数学系计算数学专业就读并获理学学士学位;2001.9—2004.7在西北大学数学系基础数学专业就读硕士;2004.9—2007.7在西北大学数学系基础数学专业就读博士学位;2007.9—2011.6在山东大学数学学院从事博士后研究;2012.1—2013.1在剑桥大学纯粹数学与数理统计系做访问学者。

2004年7月在西北大学数学系任教并于2013年4月晋升为教授。2014年起担任数学学院计算数学系主任兼党支部书记。计算数学系党支部于2010年、2012年、2014年连续评为西北大学先进党支部。

目前在国内外有影响的刊物上发表和录用论文近90篇,其中54篇SCI,13篇核心。出版学术专著两部。2004、2006年两次获得“陕西省青年突击手”称号;2005年获得中国数学会钟家庆数学奖;2009年获得全国百篇优秀博士论文提名;2012年获得霍英东青年教师奖;2013年获得“陕西省青年科技新星”称号。

曾获得省部级科研奖励两项。先后主持国家自然科学基金、陕西省自然科学基金、中国博士后科学基金特别资助等多项科研项目。现为美国《数学评论》评论员、德国《数学文摘》评论员、美国数学会会员、中国密码学会会员。