用《几何画板》探索无理数π的案例

卡满别克·塔勒合

(新疆教育学院(新疆师范高等专科学校)数学学院,新疆乌鲁木齐 830000)

用《几何画板》探索无理数π的案例

卡满别克·塔勒合

(新疆教育学院(新疆师范高等专科学校)数学学院,新疆乌鲁木齐 830000)

数学教育在培养学生的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。 随着现代信息技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。同时,信息技术对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响,打破了数学教学只需要一支粉笔和一块黑板的教学模式,已经成为数学教学中的基本要素和教数学、学数学和做数学的必要工具,为数学教育和研究开辟了新的领域。

几何画板 信息技术 无理数

《几何画板》是优秀数学教学工具软件，具有功能强大、操作方便、易学易用、制作课件简便快速等特点。《几何画板》在全国推广已经十多年了，在我区各类学校推广进展与全国相比较缓慢，用《几何画板》开发数学教学课件和教学资源方面还处在初步探索阶段，它的功能和优势没有得到充分的发挥。本人在从事多年的数学教学和“双语教师”培训工作中，用《几何画板》开发了大量的数学教学课件与数学教学资源，也积累了一定的课件制作经验和开发数学教学资源的方法。数学课件是现代信息技术同数学知识、数学思想、数学方法的有效结合而制作的辅助教学工具。下面用具体的例子来进一步说明用《几何画板》探索无理数π的值。

在传统教学中，探索无理数π是一个难度比较大的问题，教师在黑板上画边数不同的好几个正多边形，也很难展现出多边形边数的变化而图形连续变化的过程和规律。利用几何画板的动画功能，就能很好的解决这一问题。在下列图形和表格中，字母n，an，hn，Cn，Sn分别表示一个内接圆的正多边形的边数，边长，边心距，周长和面积，r，C，S分别表示圆的半径，周长和面积。把正多边形的边数n作为几何画板中的参数，用几何画板的度量和数据菜单，分别计算an，hn，Cn，Sn和r，C，S的值，用画板的深度迭代(参数迭代)功能，很容易画出通过正多边形的边数n的变化而变化的内接圆的正多边形。当参数n不断增加的时候，我们很容易发现hn与r，Cn与C，Sn与S关系和CN÷2hn的值与π的关系。

心理学认为变动的事物，图形容易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的映像。以上的图表的变化中，我们可以归纳出以下结论：

(1)通过用内接圆的正多边形的边心距、周长和面积的数量关系的变化，可以探索和估计圆的半径、周长和面积的数量关系。同时，通过用内接圆的正多边形的周长与2倍的边心距的比值来，可以探索和估计无理数π的值。

(2)通过数形结合思想和无限接近(极限)的思想，我们可以对无理数π这样下定义：当正多边形的边数n无限增大的时候，它的周长Cn与2倍的边心距hn的比值无限接近于一个常数，我们把这个常数叫做圆周率，用字母π来表示。这就是无理数π的实际意义，也是对无理数π的新认识。

如表所示，当正多边形的边数n分别为n=5000和n=7000的时候，表格中的hn，Cn，Sn，Cn÷2hn的值与和它们分别对应的r，C，S，π的值几乎相同。用《几何画板》的深度迭代功能，我们很容易体会“量变到质变”的哲学思想和范畴(如图2所示)。

(3)充分利用《几何画板》软件的功能，开发数学教学资源及其辅助教学，可以培养学生的逻辑思维，让学生体验数学与哲学的内在联系，体会哲学思想(如，量变到质变，偶然性与必然性，内因外因，内容与形式，原因和结果等)，培养学生的创新思维。

在以上案例中我们可以看出《几何画板》在开发数学教学资源、探究性学习和培养学生创新思维中的重要作用。从这个意义上说《几何画板》不仅应成为教师教数学的工具，更应该成为学生学数学的有效工具，学生可以任意拖动图形、观察图形或者用参数迭代，猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的经验，从而更有助于学生对数学的学习和理解，对发展学生的思维能力、开阔思路、开发智力、促进素质教育有着不可忽视的作用。

[1]义务教育《数学课程标准》(2011年版)北京师范大学出版社, 2012.

[2]《几何画板课件制作教程》(第三版)首都师范大学数学系组编.科技出版社,2010.

卡满别克·塔勒合(1959—),男,哈萨克族,新疆教育学院数学学院副教授,主要从事数学教学研究。