CATIA开发环境下NURBS曲线面计算模型

陈华伟，吴禄慎，袁小翠

（南昌大学 机电工程学院，江西 南昌330031）

0 引 言

非均匀有理B样条 （non－uniform rational B－splines，NURBS）是适用于复杂曲线面造型的建模方法，在插值计算［1，2］、创新设计［3］和高精度曲面造型［4］中得到广泛应用。在CATIA 环境中进行曲面功能二次开发［5］，可以直接借助CATIA 成熟的显示渲染功能，开发者只需关注功能实现；且CATIA 具有完善的应用接口 （API），支持NURBS曲面的读取、编辑和创建，能够将样条曲面拟合为NURBS 曲面，并提供了自定义曲面的生成功能。

1 NURBS曲线面的参数化定义

NURBS曲线面由控制点、权因子和基函数共同表达的数学解析式定义，已知型值 （采样）点和边界条件，即可计算节点矢量，反求控制点阵，从而获得解析解。

1.1 多项式定义

NURBS定义中，非均匀性 （non－uniform）指控制顶点的影响范围可以改变，有理性 （rational）则说明NURBS曲面可以有理多项式形式定义，B 样条 （B－spline）指曲线面的构建是通过插值实现的。

u向p 阶 （次）、v向q 阶NURBS曲面定义［6］为

Pi，j为构成曲面控制点网，u向、v向维数分别为 （m＋1）、（n＋1）；Wi，j为权因子；Ni，p（u）、Nj，q（v）为p 阶、q阶B样条基函数。

同理，k次NURBS曲线的多项式定义为

1.2 几个重要参数

为了生成NURBS曲面，CAD 软件都会对NURBS 曲面进行对象和参数化定义，几个重要参数如下：

（1）自由度，阶 （degree）

表示多项式的最高次数p，通常p＝1，2，3或5，用于表达一次 （Linear）、二次 （Quadratic）、三次 （Cubic）或五次 （Quintic）曲线面。

（2）控制点 （control points）

控制点的数目记为c，每个控制点均可附权重（weight），记为w。如果w 值完全相同，则成为 “非有理”（non－rational）。

（3）节点矢量 （knot）

节点矢量由一列数值组成，节点数值可以重复，重复次数称为重复度 （multiplicity），记为m；一般记不重复节点个数为k。节点必须满足以下两个基本条件：

1）非减性，节点数值按非降次序排列；

2）可重复性，重复度满足m≤p。

例：p＝3，c＝11，Knot数值依次为：0、0、0、1、2、2、2、3、7、7、9、9、9，符合以上两项原则。但是假设Knot数值为：0、0、0、1、2、2、2、2、7、7、9、9、9，则因为有4个节点值为2，不符合原则2），因而是不合法节点矢量。

上述参数数组大小之间存在数量关系：c＝k－p－1。以三次 （p＝3）NURBS曲线插值为例，设已知型值点数目为n＋1 （i＝0，1，2，…，n），并取节点参数前后端0，1的重复个数为p，则节点数为：k＝ （n＋1）＋2×p＝n＋7，控制点数为：c＝k－p－1＝n＋3。例如，当型值点数n＋1＝6，即n＝5时，节点数k和控制点数c应分别为12和8。

以下为两个具体实例。图1 （a）中，拟合曲线随着其中一个控制点CP3位置的移动 （至CP3′）而变化，并被其“吸引”；图1 （b）中，控制点CP1－CP6不变，改变权重系数：原权重为 （1，1，1，1，1，1），新权重为 （1，1，10，20，5，1），可见曲线向权重较大的控制点CP3和CP4靠拢［7］。它们的主要参数列见表1。

图1 两个实例

表1 NURBS曲线参数 （p＝3）

2 CATIA中曲线面对象的定义和读取

曲面是封闭的R2至R3空间的函数，由双变参U、V的3个标量函数FX、FY、FZ 所定义，标量函数说明了曲面参数 （U，V）到笛卡尔坐标 （X，Y，Z）的变换或映射关系。多面片曲面中每个面片中的点坐标可由局部参数（u，v）或全局参数 （U，V）定义。曲线则由单参数定义，情况类似。如图2所示。

图2 曲面的参数化定义

2.1 基本对象和接口

CATIA 几何建模器 （CATIA geometric modeler，CGM）中封装了CATCurve和CATSurface接口分别定义曲线和曲面对象，所定义曲线和曲面必须是二阶可微，即C2连续的。与之相关联的几个重要对象和接口有：

（1）CATCrvParam／CATSurParam 对象：定义曲线／面上点的全局参数；

（2）CATCrvLimits／CATSurLimits对象：定义曲线／面边界，可由包围盒的两个角点CATCrvParam／CATSur－Param 参数定义；

（3）CATKnotVector对象：定义节点矢量，提供了获取节点值，控制点，分段弧数，自由度，重合度等全套接口函数；

（4）Eval接口：CATCurve／CATSurface：：Eval实现参数坐标至笛卡尔坐标的转换和三阶导数的求取；

（5）GetParam 接口：CATCurve／CATSurface：：Get－Param 实现笛卡尔坐标至参数坐标的转换；

（6）GetEquation 接口：获得曲线／面方程对象CATMathFunctionX／CATMathFunctionXY；

（7）GetKnotVector／GetKnotVectorU／V 接口：获得CATKnotVector对象。

2.2 参数读取和计算

（1）点对象信息

曲线面分别利用CATCurve和CATSurface对象的接口函数求取曲线面上的点及其导数。如曲线中点及该点切向和法向的计算过程如下：

对如图3 （a）所示的曲线进行计算，结果为：

中点坐标：（262.734，114.157，209.558）：

一阶导数：（0.779724，－0.558819，－0.358627）；

二阶导数：（－0.00640612，－0.00114124，－0.00163766）；

三阶导数： （－9.6987e－005，7.44916e－005，－2.68162e－005）。

可见，三阶导数的取值已经非常之小，几何意义不大。也可以采用第二种方法，即使用接口函数CATCurve：：GetEquation获得该曲线的MathFunctionX 数学函数对象，该对象也提供了Eval类接口函数，所求结果与上述结果一致。

曲面上点信息的读取过程与之类似，图3 （b）显示了曲面中点及其各向切矢和法矢的计算结果。

图3 CATIA 中曲线的底层操作

（2）点的解析解

此外，还能读取通过CATKnotVector：：GetPolynomialBasisForOneArc接口函数读取NURBS多项式，并对曲线面上的点求解析解。以曲线为例：

解析解计算结果与对象法读取的结果一致。

（3）NURBS参数

为了读取NURBS参数，应使用CATCreateCrvFitting－ToNurbsCrv全局函数 （可设置拟合误差）将一般曲线转化为NURBS 曲线对象CATNurbsCurve，该对象由CATCurve继承而来，增加了GetOneControlPoint函数用于读取控制点信息。

下面给出NURBS节点和控制点参数的读取过程：

对如图3 （a）所示的曲线进行计算，结果为：

自由度：5

分段弧数：3

节点数：4

节点值：0，106.771，254.757，459.452

重复度：6，3，3，6，

控制点数：12

控制点： （100，70，300） （102.004，99.0517，287.637）（108.124，121.486，276.488）

（118.362，137.304，266.554） （152.613，159.256，245.748）（203.535，148.733，229.986）

（235.575，134.094，221.656） （299.801，92.7058，198.798）（310.217，54.9492，161.893）

（286.537，43.1674，132.534） （233.131，41.5177，95.2366）（150，50，50）

将这些控制点用直线连接，结果显示于图3 （a）；图3（b）中也展示了NURBS曲面参数求解后获得的部分控制点和两条控制线。

3 NURBS曲线面的反求

工程应用中，一般已知型值点阵Qi，j（Qi，j∈S），要求NURBS的解析表达式，因此，需要反求控制点阵P，设Q为型值点阵列，R 为基函数系数矩阵，P 为控制点网矩阵，则NURBS曲面方程定义式可表示为矩阵形式

基函数系数矩阵R 由多项式函数Ni，k（k 为阶次）构成，Ni，k的基函数又由节点矢量u＝ ［u0，…，um＋2p］，v＝［v0，…，vn＋2q］采用Cox－De Boor公式［2，8］递推

其中

对矩阵方程进行求解，可反求出控制点：

P＝R－1Q，R 为方阵；

P＝ （RTR）－1RTQ，R 不为方阵。

NURBS曲面反求以曲线反求为基础，而曲线反求的核心是控制点的反求，其基本步骤是：

（1）读入型值点Q，计算节点矢量u、v；

（2）使用De－Boor公式，计算多项式基函数Ni，k，构造系数矩阵R；

（3）带入曲线方程，构造方程组RP＝Q；

（4）附加合适的边界条件，得到未知数个数与方程个数一致的可解方程组；

（5）采用合适的方法求解方程组，得到控制点P。

3.1 NURBS曲线的控制点反求

NURBS曲线反求可描述为：已知n个型值点Qi（i＝1，…，n），曲线自由度为k，求控制点Pi。

为满足曲线端点就是型值点的要求，节点矢量的两端应取k＋1重复度，即u0＝u1＝…＝uk，un＋k＝un＋k＋1＝…＝un＋2k。

对三次样条曲线 （k＝3），取规范化节点矢量，则两端重复节点矢量为：u0＝u1＝u2＝u3＝0，un＋3＝un＋4＝un＋5＝un＋6＝1。

首末短短重复度为m＝k＋1＝4。

其它节点值可采用累积弦长法进行参数化

附加以下条件：

（1）首末端点应分别与控制点重合，即：p0＝q0，pn＋k－1＝qn。

（2）边界条件。一般要求边界点 （首末端点）切矢q0′和qn′连续，即有

使用基函数递推式 （2），求系数矩阵R，带入式 （1），整理得以下矩阵方程

其中

3.2 矩阵方程的求解

方程组 （1）为典型的三对角矩阵方程，易采用高斯消去法求解。

给定形的矩阵方程如下

经过n－1次消元，可化为同解上三角矩阵方程

其中

回代求出未知数：xn＝gn，xi＝qi－uixi＋1（i＝n－1，n－2，…，1）。

该过程亦称为追赶法，是三对角方程组的典型求解方法。

3.3 m×n维点阵拟合NURBS曲面

以均匀双三次B样条（k＝3）为例，典型的反求问题可描述为：已知m×n维型值点阵Qi，j（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m），求控制点阵Pi，j（i＝1，2，…，n＋1；j＝1，2，…，m＋1）。

采用两次反求法，即分别对u 向和v 向控制点进行反求，即可求取控制点阵：

（1）计算u向控制点。对u 向的m 组型值点，按照反算公式，并添加边界条件，即可求解矩阵方程，获得m 组B样条曲线的控制顶点Vi，j（i＝1，2，…，n，n＋1；j＝1，2，…，m）。因为每条曲线都要添加两个边界条件才能求解，因而每条曲线上的控制点数为 （n＋1）；

（2）计算v向控制点。将Vi，j视为v 向的m 组型值点，再作 （n＋1）次B样条曲线反算，所求v向控制点Pi，j即为整个曲面的控制点。

CATIA 提供了几何对象包CATGeoFactory，开放有NURBS曲线面生成的接口函数CATCreateNurbsCurve和CATCreateNurbsSurface，它们均以节点向量和控制点阵为主要输入参数，调用结果是生成CATNurbsCurve或CATNurbsSurface对象，该对象可直接在CATIA 界面中显示。

使用CATIA 开发环境，导入型值点阵，自定义函数封装节点计算、控制点反求及其求解算法，然后调用CATGeoFactory：： CATCreateNurbsCurve／CATCreateNurbs－Surface接口生成NURBS 曲线面对象，转化为特征后在CATIA 界面中显示。图4是在CATIA 中对30×20维点阵进行NURBS曲面重构的结果。

图4 由点阵生成NURBS曲面

4 结束语

特征在界面上以对象形式存在，在底层则是通过几何拓扑或解析计算生成。文中NURBS曲线面信息的读取以及曲线面的反向生成，均借助CATIA 的NURBS对象接口实现，并交由显示渲染接口生成，因而具有流程简单，代码清晰，可维护性和封装性强等特点。作为曲线面建模和逆向建模的核心算法，该模块可在复杂曲线和型面［9，10］建模分析中直接应用或修改后应用。

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