T样条曲面在B样条曲面局部拼接中的应用

薛 翔，周来水

（南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京210016）

0 引 言

相邻曲面的连续拼接对于自由曲面造型［1］非常重要，因此CAD 和CAGD 领域学者对曲面拼接问题进行了大量深入的研究，例如代数曲面间拼接［2，3］、Bezier曲面间拼接［4，5］、NURBS 曲 面 间 拼 接［6，7］、以 及B 样 条 曲 面 间 拼接［8，9］。由于B样条曲面被广泛用于产品设计中的自由曲面造型，而且经常需要通过局部拼接来得到外形更灵活的B样条组合曲面，因此B 样条曲面间的局部连续拼接在产品设计时就显得更为重要。

在实际拼接时，相邻B 样条曲面在拼接边界上经常具有不同的边界定义，所以无法直接进行连续拼接。通常采用曲面细分来恢复拼接边界上的一致性，但B 样条曲面在细分时只能加入整行、整列的控制点，其中大多数控制点对曲面拼接毫无用处，只会造成拼接后曲面上的控制点冗余。相对于B样条曲面细分时控制点的成批加入，T 样条曲面［10］在细分时可以更灵活地加入局部控制点。

因此，针对B样条曲面在局部拼接时由于曲面细分而加入冗余控制点的问题，本文提出一种更有效的T样条曲面局部拼接法。该方法利用T样条曲面的局部均匀细分算法，将两张B样条曲面局部拼接为一张精简的T样条组合曲面，并通过实例验证了该拼接法优于B样条曲面细分拼接法。

1 T样条曲面基础

图1 T 网格及其T 样条曲面

任何一张B样条曲面都可以精确转换为一张均匀T网格上的全行列T样条曲面，如图2所示。转换后的全行列T样条曲面在曲面细分时可以加入局部控制点，而转换前的B样条曲面在曲面细分时只能加入整行、或者整列的控制点。

图2 均匀T 网格及其全行列T 样条曲面

2 局部均匀细分算法

T 样条曲面通过灵活的细分算法来加入局部控制点，接下来将在T 网格上具体描述其中一种较为简单的局部均匀细分算法。

给定一个T网格TMi，Bia／Bib／Bic／Bid为其上相邻4个B样条函数。如果这些B样条函数在同一方向上具有相同的支持域，就可在T网格上加入一个新控制点和一个新B样条函数Bi＋1e，如图3 所示。此时，TMi就被局部均匀细分为TMi＋1，Bia／Bib／Bic／Bid也被细分为Bi＋1a／Bi＋1b／Bi＋1c／Bi＋1d／Bi＋1e。

图3 T 网格上的局部均匀细分算法

利用局部均匀细分算法，就可在T 网格边界上加入局部行的控制点。如图4所示，通过对TM0进行水平方向上的局部均匀细分，可在TM0边界上加入3行局部控制点，同时将TM0局部均匀细分为TM9。

图4 T 网格边界上的局部均匀细分

3 基于T样条曲面的局部连续拼接

设两相邻B样条曲面为A 和B ，它们需要沿其公共边界Ab／Bb实现局部连续拼接，但Ab与Bb具有不同的边界定义，并且在这两张曲面的公共边界上还存在间隙与重叠，如图5 （a）所示。如果利用B 样条曲面细分来连续拼接这两张曲面，则会在拼接后的B 样条组合曲面上加入不必要的冗余控制点。如图5 （b）所示，曲面A 在局部拼接时加入了7个控制点，其中4个为冗余控制点，因为它们对曲面拼接没有任何用处。如果利用T 样条曲面的局部均匀细分算法来进行连续拼接，在曲面细分时则不加入任何冗余控制点，从而得到一张控制点更少的T 样条组合曲面。如图5 （c）所示，曲面A 在局部拼接时加入的3个控制点都不是冗余控制点，因为它们都用于曲面拼接。

图5 相邻曲面在局部边界上的连续拼接

接下来就对基于T 样条曲面的局部拼接法进行具体描述：

步骤1 先将B样条曲面A 和B 精确转换为两张全行列T 样条曲面A 和B ，它们分别定义在均匀T 网格uTMA与uTMB上。uTMA的节点距向量为DA／EA，uTMB的节点距向量为DB／EB。拼接边界Ab与Bb也分别定义在两个边界T 网格uTMAb与uTMBb上，其各自节点距向量为DAb／EAb与DBb／EBb。由于uTMAb≠uTMBb，Ab与Bb则定义在不一致的边界T 网格上，如图6所示。因此，曲面A和B 无法直接沿其公共边界Ab／Bb实现连续拼接。

图6 拼接前不一致的边界T 网格

步骤2 通过局部均匀细分算法在T 网格边界上加入局部控制点，不仅可使Ab与Bb重新定义在一致的边界T网格上，而且还不加入任何冗余控制点。如图7 所示，通过在uTMA边界上加入一局部行的控制点，将uTMA局部均匀细分为TMA，就可使Ab与Bb的边界T 网格重新恢复一致，也即uTM′Ab＝uTMBb，其中DAb＝DBb和E′Ab＝EBb。此时只要重合Ab与Bb的控制点，就可将曲面A 和B沿其局部边界连续拼接为一张精简的T 样条组合曲面，如图5 （c）所示。

4 造型实例

图7 局部均匀细分后一致的边界T 网格

本文在VC＋＋与VTK 渲染库的基础上实现了基于局部均匀细分的T 样条曲面局部拼接法，并将其用于车尾部的后围板曲面造型。图8 （a）为待拼接的3张相邻B 样条曲面A／B／C。由于曲面A 与曲面B 和C 在各自拼接边界上具有不同的边界定义，因此这3张曲面无法直接实现局部连续拼接。为得到图8 （b）中连续拼接后的组合曲面，接下来将利用B样条曲面细分拼接法与T 样条曲面局部拼接法分别构建后围板的曲面模型。

在图9 （a）中，B样条曲面A 通过曲面细分使其与曲面B 和C 在拼接边界上具有一致的边界条件，从而实现曲面间的连续拼接。但B样条曲面A 在细分时必须加入两整行的控制点，总共为40个控制点，其中28 个控制点对曲面拼接没有任何用处。拼接后的后围板曲面模型将由一张B样条组合曲面来描述。

图8 后围板曲面模型的构建

图9 基于曲面细分的后围板曲面拼接

如果将这3张B 样条曲面转换为全行列T 样条曲面，就可利用局部均匀细分来得到拼接边界上的一致性，从而将这些曲面局部连续拼接在一起，如图9 （b）所示。此时只需在全行列T 样条曲面A 的两侧分别加入两行局部控制点，一共为12个控制点，这些控制点全部用于曲面拼接，并且只有图9 （a）中B样条曲面细分拼接时所加控制点的30%。此时，后围板曲面模型就可由一张更精简的T 样条组合曲面来描述，其上的控制点更少。

5 结束语

本文提出的T 样条曲面局部拼接法较好地解决了相邻B样条曲面在局部拼接时由于曲面细分而加入冗余控制点的问题。该拼接法利用T 样条曲面的局部均匀细分来实现拼接边界上的一致性，同时不加入任何冗余控制点，因此在局部拼接后可以得到一张更精简的组合曲面。最后，通过实例验证了该拼接法比B 样条曲面细分拼接法更有效，并且还具有较好的工程应用价值。

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