三角代换方法在求解不定积分中的应用

张明会，高婷婷

（陇南师范等等专科学校数信学院，甘肃 成县742500）

一、引言

三角代换是利用三角函数的性质将要计算的不定积分问题进行转换， 使题目得以求解， 实质上是换元的思想，体现了三角是数学中的工具。三角函数有理式不定积分的计算是高等数学中常见的题型之一， 也是不定积分的核心和难点之一， 并且在现代工程理论中应用也非常广泛。 于是，在实际应用过程当，究竟应该用什么样的三角形式进行代换就成了关键环节， 本文通过几类典型的例子，对不同形式的三角代换方法做了详细的论述。

二、几类三角代换及例题选讲

解：

我们用辅助三角形法进行变量还原， 所谓辅助三角形，是指一个边和角满足代换式的三角形，在本题中就是满足条件tant=的直角三角形。由该三角形的三边可直接写出t 的其它三角函数值。本题就有

本题中被积函数不含根号，但利用正切变换把变a2＋x2换为三角函数这一特点， 我们用正切代换把该积分化成了三角函数的积分进行计算。

解：

解：

注：需要指出的是，万能代换并不是万能的，也不一定是最简捷的解题方法，甚至有可能得不到正确结果，因此，在求三角函数的不定积分时，应该先认真观察被积函数的特点， 根据被积函数的特点选择较为简单的解法进行求解，而不要盲目使用万能代换。

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