理想气体在圆形可逆循环过程中温度极值的讨论

方 伟　涂 泓　朱炯明

(上海师范大学物理系　上海　200234)

理想气体在圆形可逆循环过程中温度极值的讨论

方 伟涂 泓朱炯明

(上海师范大学物理系上海200234)

摘 要：本文讨论了在p-V图上圆形循环过程的理想气体的温度极值问题．结果显示，循环过程中的最高及最低温度和圆心坐标与圆的半径的比值有关．当该比值a≥时，循环过程中的最高及最低温度分别位于圆上离开原点最远和最近的点；而当a<时，圆上会出现两个温度不同的极大值及两个温度相同的极小值，且两个温度极小值关于p=V直线对称，其具体位置与a的大小有关．

关键词：p-V图温度极值等温线

理想气体的压强随体积变化的关系，可在p-V图上直观表示．由理想气体各参量所满足的函数关系，还可以推断出其温度变化．在中学物理竞赛或普通物理热学课程中常常碰到这样的试题：某理想气体状态的变化过程在p-V图上是一个圆，求循环过程中的最高温度和最低温度各是多少．这类题目通常是通过等温线与圆有一切点并利用一元二次方程两根相等来求解，但是由于等温线与圆相切的情况有时比较复杂，因此这种解法实际上是有适用范围的．本文通过分析一道中学物理竞赛题目来讨论圆形可逆循环过程的温度极值问题．

1问题的引出

1.1原题及参考解答

第15届全国中学生物理竞赛预赛第7题如下：1 mol理想气体缓慢地经历一个循环过程，在p-V图中这一过程是一个椭圆，如图1(a)所示．已知此气体若处在与椭圆中心O点所对应的状态时，其温

所求出的电容值也正比于圆盘的半径．

参 考 文 献综合前面的讨论我们可以看出，本文开头的竞赛题给出的解法只有在a>的情况下才能成立，而[1，2]给出的竞赛题相应的a分别为2和3，因而是满足这个条件的，此解法不会出现任何问题．但若a≤，则问题会复杂一些，竞赛题给出的解法不再凑效．类似的题目及结论也可在文献[2]中找到．文献[3]利用较为奇妙的数学技巧，更是得到气态变化圆形图像成立的条件，即位于直线p=V上的圆心O点的坐标值与此圆半径R之比必须不小于，这是一个非常有趣的结论，相当于对理想气体在p-V图上按圆形变化的圆的大小给出了上限，若成立，应能从热学的基本规律来解释其背后的物理．笔者认为若该文作者在a<的情况采用本文中的图3，则不会出现该文所认为的问题，因而是否存在这个限制条件，是值得商榷的．对于a=，由于温度变化的一至三阶导数均为零，在涉及该过程的理想气体的一些物理量的变化是否有一些特殊性质，值得我们另文探究．

1(美)E·M·哈塞尔．伯克利物理学教程第二卷．北京：科学出版社，1979.59

2蒋卫健，胡昉，方本民．均匀带电非导体圆盘边缘的电势的几种解法．大学物理，2013，32(8)：24～28

3斯迈思W R. 静电学与电动力学. 戴世强译.北京: 科学出版社,1981.35～ 36,177

4熊建平．导体薄圆盘的电荷分布．大学物理，1999，18(5)：8～10

度为T0=300 K,求在整个循环过程中气体的最高温度T1和最低温度T2各是多少[1]．

图1　理想气体在 p-V图上的可逆循环，图(a)为一般情况

下的椭圆形式，图(b)为坐标归一化后的圆形，方便定量研究．

此题参考解答如下：图1(a)给出的椭圆方程为

(1)

整理后可得

(2)

(3)

等温线与椭圆相切时，温度取最大或最小值，所以上式两个根相等时温度取极值，即

(4)

(5)

上式的两个解则分别对应最高温度T1与最低温度T2

(6)

1.2极值温度在p-V图上的位置

另外，从得到方程(4)的过程来看，要求两根相等时温度取极值，其实是认为温度取极值时，该等温线与圆只有一个切点，此切点对应极高或极低温度．而从圆与等温线均关于直线p=V对称来看，如果按照标准答案的理解，等温线与圆只有一个切点，那么这个切点只可能是图1(b)中的A点或B点．

1.3一个切点假设的合理性

从以上分析可见，在解题过程中用到了一个未经证明的假设，即等温线与圆只能有一个切点．而这一假设又直接影响到图1(b)上的A和B两点是否确实唯一对应变化过程在p-V图上表现为圆形的理想气体的最高与最低温度．事实上，由于双曲线和圆的斜率变化都比较复杂，因此直接使用这一假设的做法值得讨论．

2等温线与圆的切点

为研究方便，假设某理想气体p-V关系满足如下的圆方程

(V-a)2+(p-a)2=1

(7)

该圆圆心位于p-V图上p=V直线上，式中的压强p和体积V均为归一化的无量纲变量，圆的半径亦归一化为1，因而此圆方程中只有一个参数，这样的表示方便我们后面的讨论，亦使得物理图像较为清晰．根据图2所示的等温线和圆曲线，可以分析该理想气体的温度最高点和最低点．

2.1温度最高点

图2中A点处的等温线曲率与圆在该点处的曲率符号相反，因此不论等温线与圆的具体图像如何，它们之间只能有一个交点(切点)，且为A点．再根据等温线离原点越远，温度越高可知，A点确为圆上温度最高的点．

图2　理想气体在 p-V图上的圆形循环，(a,a)为圆心坐标．

θ为OP与OB的夹角，A和B为离开原点O最远和最近

的点，过A和B两点与圆相切的双曲线为等温线．

2.2温度最低点

图2中B点处的等温线曲率与圆在该点处的曲率符号相同，因此存在着切点不止一个的可能性．切点坐标可由温度对坐标的一阶导数和二阶导数确定．

为研究方便，取圆上任意一点P，该点与OB的夹角为θ，P从B点开始逆时针转过一圈，则θ从零变化到2π．点P的横纵坐标分别为

根据理想气体状态方程pV=νRT可知，圆上各点对应的温度变化规律正比于P点的横纵坐标乘积pV，因此其大小随θ变化，即

(8)

函数T(θ)关于θ的一阶和二阶导数分别为

(9)

(10)

图3　圆上温度极值的示意图．A，B，C，D均为等温线与

但B点的性质稍显特殊，因为温度T关于θ的二阶和三阶导数在B点均为零，即

(11)

(12)

但温度T关于θ的四阶导数大于零，即

(13)

2.3温度随坐标的演化关系

图4　a取不同值时圆上各点温度的变化图．B和A分别位于0

1崔宏滨编著.物理竞赛真题解析(热学·光学·近代物理学).合肥：中国科学技术大学出版社，2014.26～27

2仝响编著.物理奥林匹克竞赛大题典(热学卷).哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014.93～94

3郑金.对气态变化椭圆图像成立条件的探究.物理教学， 2014(1)

4四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学(物理类专业用，第一册)(第三版).北京：高等教育出版社，1995.172

Discussion on Temperature Extremums of Ideal Gas

in A Circular Reversible Loop Process

Fang WeiTu HongZhu Jiongming

(Shanghai Normal University Physics Department,Shanghai200234)

Abstract:This paper discusses temperature extrema of an ideal gas which appears as a circle in a p-V diagram.The highest and lowest temperatures turn out to be dependent on the ratio between the coordinates and the radius of the circle. When this ratio a≥,the highest and lowest temperatures correspond to the two points that are furthest from and closest to the origin of coordinate,respectively.When a<,two maxima of different temperatures and two minima of same temperature appear on the circle.The locations of the two minima are symmetrical about the line p=V and depend on the value of a.

Key words:p-V diagram;temperature;extremum;isothermal curve

收稿日期：(2015-01-07)