多思善想 以少胜多

摘要：高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力更是考查的重点。为了提高能力，解题之后要思改进与优化，思数形找妙法，思引申与推广，从“题海”中解脱出来，以少胜多。

关键词：提高能力;多思善想;以少胜多

中图分类号：G632.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）44-0180-02

近几年的素质教育中，强调较多的是如何提高学生分析问题、解决问题的能力。要做到这一点，必须在平时的学习过程中一点一滴地积累和培养。有很多学生感到疑惑：“做了许多数学练习，解题能力为何没有明显提高？”究其原因，往往在于解题之后满足于题已解出而浅尝辄止。然而，“正确”≠“完美”，为了达到完美，为了提高能力，解题之后还应多思善想。怎样才算多思善想呢？请看如下“三思”。

一、思改进与优化

解题开始时，重在找到已知与未知的联系，能达到目的走点弯路也无所谓，但是，解出之后，就应回头查看，论证中有无多余的枝节可删去？复杂运算能否简化？哪些量在变，哪些量不变？换一个角度去考虑，有无更简单的解法？这样去深究，解题的关键才能得以突出，因而也会给我们留下深刻的印象，并在今后由此及彼的加以灵活运用。

例1：已知f（x+1）=x  +x+1，那么f（x-1）的最小值是

。

分析：按常规解法，应由f（x+1）→f（x）→f（x-1），求出f（x-1）的解析式后再求其最小值。仔细观察可发现所求最小值与f（x+1）的最小值相同，均为  ，为什么呢？深究根底，发现f（x-1）的图像可由f（x+1）的图像向右平移两个单位得到，他们当然有相同的最小值，因此，只需求出f（x+1）的最小值即可。

f（x+1）=（x+  ）  +  ≥

例2：（2013年理）设等差数列{a  }的前n项和为s  ，s  =-2，s  =0，s  =3，则m=    。

A. 3   B. 4   C. 5   D. 6

分析：设数列{a  }的首项为a  ，公差为d，则

（m-1）a  +  d=-2ma  +  d=0（m+1）a  +  d=3，解出m=5

仔细观察可发现s  -s  =a  ，s  -s  =a  ，所以

d=a  -a  =1，再由a  +m=3ma  +  d=0，解出m=5

二、思数形找妙法

数形结合是很重要的一种数学思想，也是培养发展学生思维的有效途径。大多数代数问题都有几何背景，若拘于常规，会有很大的运算量，甚至思维受阻，若结合图形及其特征常能快速求解。

例3：（2013课标全国卷Ⅱ）若存在正数x使2  （x-a）<1成立，则a的取值范围是    。

A.（-∞，+∞）     B.（-2，+∞）

C.（0，+∞）      D.（-1，+∞）

分析：求解此类问题仅从“数”上观察较难入手，但如果把数量关系转化为图形语言，借助函数图像的生动性和直观性阐明数量之间的关系，即可快速判断参数的取值范围。

解析：不等式2  （x-a）<1可变形为x-a<（  ）

在同一平面直角坐标系内做出直线y=x-a与y=（  ）  的图像，如图。

由题意可知，在（0，+∞）上，直线y=x-a有一部分在曲线y=（  ）  的下方。观察可知，有-a<1，所以a>1，故选D。

例4：（2014江苏高考）已知f（x）是定义R在     上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x  -2x+  |，若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是    。

分析：画出函数y=f（x）的图像，利用函数的图像直观判断y=a的位置，确定a的范围。

解析：当x∈[0，3）时，f（x）=|x  -2x+  |=

|（x-1）  -  |，由f（x）是周期为3的函数，做出f（x）在[-3，4]上的图像，如图。

由题意知方程a=f（x）在[-3，4]上有10个不同的根，由图可知a∈0，

三、思引申与推广

解出一道题后，还应常存引申、推广之心，如改变题中条件或变结论为条件，结论如何？还有由三角形想到四边形、多边形;由圆想到椭圆、双曲线及一般曲线;由二次函数，想到幂函数、指数函数、三角函数等。

例5：求函数y=x  +2x-2的值域。

显然y=（x+1）  -3的值域为[-3，+∞），但是如果改变条件，变为如下问题，则可以加以推广、引申。

①若x∈[1，2]，求函数y=x  +2x-2的值域。

②若x∈（1，2），此函数还有最大值与最小值吗？在开区间上函数最值是否一定不存在呢？

③把x用“指数”或“对数”式代替，如：求函数y=（log    x）  +2log  x-2的值域，再附加上条件x∈[1，2]呢？

④与三角函数相结合，如求y=cos2x+2cosx-1的值域。

因为y=cos2x+2cosx-1=2cos  x+2cosx-2，所以此题可转化为二次函数y=2t  +2t-2在区间[-1，1]上求最值问题。

⑤联想到解析几何，如：已知点P（x，y）在已知椭圆x  +2y  =1上运动，求z=2x+5y  的取值范围。

分析：可由x  +2y  =1求得y  =  ，代入z=2x+5y  ，得z=-  x  +2x+  （-1≤y≤1）

以上属于同一类型的题，而且把三角、解析几何、函数问题串在了一起，经常做这种由此及彼的思维联想，不仅可以增强学生的分析和解决问题的能力，还会引导我们走向发展创新之路。

如果做到了以上“三思”，就能从“题海”中解脱出来，就像掌握了“芝麻开门”的秘诀一样，任何数学问题都可迎刃而解。