高中生物学教学中常用的数学原理

梁愈

一、函数原理

1.正比例函数

例1 调查某草原的田鼠数量时，在划定的1ha的调查区内，设置100个捕鼠笼，一夜间捕获田鼠32只，将捕获的田鼠经标记后在原地释放.数日后，在同一地方再放置同样数量的捕鼠笼，这次共捕获30只，其中有上次标记的个体10只.请回答下列问题：

（1） 求该地区田鼠种群的个体总数.

（2） 若某种群有成鼠a头（计算时作为亲代），每头雌鼠一生产仔16只，各代雌雄比例均为1∶ 1，则从理论上计算，第n代产生的子代数是多少？

简析 （1）第1个问题可利用重捕标志法，根据样本来估计待查区田鼠种群的个体数.标志重捕法的理论依据是数学中的正比例函数.

设该地区田鼠种群总数为y，第一次捕获的数量

为x只（全部标志再放掉），第二次再捕获的数量

为a只，其中带标志的有b只，有 y x = a b ，因为 a b 为定值，所以y是x的正比例函数，这也说明在某地区捕到的动物越多，该地区此种动物的量就越多.把a=30，b=10，x=32分别代入y= a b x中，则y=96，即为该地区田鼠种群的总数.

（2）由题意可知，田鼠的增长量符合理想条件种群数量增长类型的“J”型曲线，“J”型曲线表示一个指数函数：Nt=N0λt，此函数反映的是理想条件下某种群的初始数量是N0，经过时间t后，以增长率λ连续增长达到的种群总数Nt的过程，得出

t=n，N0=a.因此，解题的关键是求出λ.由于一只雌鼠一生产仔16只，且各代雌雄比为1∶ 1，只有雌鼠才能产仔，即每只雌鼠一生都可产生8只雌鼠，故λ = 8，所以，Nn=a8n，即第n代产生的子代数为a8n.

2.极值问题

例2 在一个草原生态系统中，草为生产者，鼠是初级消费者，进入该生态系统的总能量为m.问在“草——鼠”食物链中，鼠从中获得的能量至多为多少？

简析 从数学角度看，鼠与草的能量关系是函数关系，如果以常数n代表能量传递效率，消费者营养级的数量为自变量x，则鼠获得的能量可用函数表示：y=m·nx.n的取值范围是：10%≤n≤20%，为大于或等于1的正整数.

3.单调性和单调区间问题

例3 在实验条件下，测试某种恒温动物离体细胞的呼吸强度E受温度变化的影响，如图1.

图1

其结果正确的是（ ）.

简析 这是事物的单调性和单调区间的关系问题.恒温动物离体细胞的活性随着温度的升高而逐渐增强，到达最适温度时酶的活性最强.随着温度的逐渐上升，当超过最适温度时，酶的活性受到抑制，使之变性甚至失去活性.结合单调性和单调区间的关系，应当选择C.

二、集合原理

图2

例4 一对夫妇，男性为色盲患者，基因型为AaXbY，女子表现正常，基因型为AaXBXb，aa表示白化个体.求他们的子代患病的概率及子代患一种病的概率.

简析 解此题的方法并非一种，如果采用几何分析方法是最直观、最简便的.如图2所示，可设这对夫妇所生子女为全集，记作I.子女中只患白化病或色盲的集合分别记为A、B.则A∩B为子 女中既患白化病又患色盲的概率，子女患病的概率为A∪B子代只患一种病的概率为 A+B-2（A∩B）.

（1） 子代患病的概率为：

P=AB=P白化+P色盲-P白化×P色盲=1/4+1/2-1/4×（1/2）=5/8

（2）子代只患一种病的概率为：

P=A+B-2（A∩B）=P白化+P色盲-2P白化×P色盲=1/4+1/2-2（1/4）×（1/2）=1/2

三、排列组合原理

例5 （2009年全国中学生生物学竞赛理论试题第17题）一个二倍体物种，在A基因座位上有10个复等位基因，在B基因座位上有8个复等位基因；A、B两个基因不连锁，请问可能存在的基因型有几种（ ）.

A.18种 B.1260种 C.80种 D.180种

简析 假设当复等位基因为n个时，设复等位基因为A1、A2、A3……An.（1）以棋盘式表达之，设计棋盘式的行与列，分别表示雌配子和雄配子；

（2）将雌雄配子组合在一起构成合子的基因型.见下表：

A1 A2 A3 …… An

A1 A1A1

A2 A1A2 A2A2

A3 A1A3 A2A3 A3A3

…… …… …… …… ……

An A1An A2An A3An …… AnAn

（3）统计表2所示棋盘式中的合子基因型种类：1+2+3+…+n=n（n+1）/2（种），其中：

对角线上的纯合子有n种.

杂合子有n（n-1）/2（种）.

（4）计算复等位基因数量： 由于A基因座位上有10个复等位基因，则基因型有：10（10+1）/2=55（种），杂合子有：10×9/2=45（种）.B基因座位上有8个复等位基因，则基因型有：8（8+1）/2 = 36（种），杂合子有：8×7/2 = 28（种）.

由于A、B两基因不连锁，则基因型组合有：55×36 = 1980种.两组基因型均为杂合子的概率为45×28 = 1260种.因此，上述题目无正确答案.

四、归纳法原理

例6 基因型为Aa的豌豆连续自交.在图3中，能够正确表示其自交代数和纯种占第n代个体比例关系的是（ ）

图3

简析 此类问题宜用数学归纳法对杂合子自交后代的概率进行推算，则F1的杂合子概率为1/2， 纯合子的概率也为1/2.F2的杂合子概率为（1/2）2，直到Fn，杂合子的概率为（1/2）n，故纯合子的概率为1-（1/2）n.在结合图形中的生物学含义，选择D.

五、二项式展开原理

例7 （2009高考广东理综卷20题）某人群中某常染色体显性遗传病的发病率为19%，一对夫妇中妻子患病，丈夫正常，他们所生的子女患病概率是（ ）.

A.10/19 B.9/19 C.1/19 D.1/2

简析 本题目的隐含条件：题目中的研究对象是“某人群”，数量较多，且随机婚配，符合遗传平衡，解此题涉及到二项式展开原理.

妻子的基因型为AA或Aa，通过分析两种基因型都可生出患病的孩子，直接计算后代的患病率，需要对两种基因型进行计算，比较复杂，本题可以反向计算后代正常的概率，计算过程是：发病率为19%，即AA与Aa的基因型频率之和是19%，正常的概率（即aa的基因型频率）为81%，根据遗传平衡定律（A、a的基因频率分别用p、q表示），q2=81%，则q=9/10，由p+q=1，可以求得，p=1/10.丈夫正常，基因型为aa，妻子患病，基因型有AA或Aa，两种可能，先求妻子基因型为Aa的概率，根据遗传平衡定律可知，基因型为Aa的概率=2p×q=2×1/10×9/10=18%，但已经确定妻子是患者，因此，妻子的基因型为Aa的概率=（18%）/（19%）= 18/19，后代为表现正常（aa）的概率=1/2×18/19=9/19，所以这对夫妇所生子女患病的概率是10/19.

六、乘法加法原理

例8 对轻度智力低下（feeblemindedness）隐性基因杂合的双亲，若有4个孩子，其情形如下，问概率各为多少？（1）全不正常（2）全部正常（3）3个正常1个低能.

简析 假定双亲的基因型为Ff，则各类型子女出现的概率是：

Ff × Ff

↓

1 4 FF 2 4 Ff 1 4 ff

3 4 正常 1 4 低能

各种情形的概率是：

（1） 全不正常：C04（ 1 4 ）4（ 3 4 ）0=（ 1 4 ）4= 1 256

（2） 全部正常：C44（ 3 4 ）4（ 1 4 ）0=（ 3 4 ）4= 81 256

（3）3个正常1个低能

C34（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=4（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=

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