基于MWC压缩采样系统的通道失配校正研究

杨树树，宁 勇

（中国航天科工集团8511研究所，江苏 南京210007）

0 引言

传统的数字信号处理是以奈奎斯特（Nyquist）采样定理为基础的，在该框架下，数字系统采样速率必须达到模拟信号带宽的两倍才能无失真地恢复原始模拟信号［1］。然而，随着信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度提出了越来越高的要求，人们迫切需要去寻求新的数据采集和处理的方法。在这种情况下，针对具有稀疏特性信号的采样和处理技术的压缩感知（CS）［2-3］理论应运而生。

调制宽带转换器（MWC）是一种典型的多通道压缩采样系统，该系统可以在不需要任何先验信息的条件下全盲恢复原始信号［4-6］。然而实际应用中由于通道间的失配问题，导致恢复出的信号存在严重失真。针对上述问题，本文首先介绍MWC 压缩采样系统的工作原理，然后在信号重构恢复理论模型的基础上提出了校正模型，并进行了仿真实验和性能分析，验证了该校正模型的有效性。

1 采样系统与数字子信道分离

1.1 采样系统

调制宽带转换器是一种针对稀疏多频带信号的压缩采样系统，由m个通道组成。在第i个通道，将输入信号x（t）与周期为Tp＝1／fp的混频信号pi（t）相乘进行混频，然后将混频后的信号通过截止频率为1／（2Ts）的低通滤波器h（t）进行滤波，最后对滤波器输出信号以远远小于Nyquist采样速率（fs＝1／Ts）进行采样获得yi［n］，m个通道的采样序列送给信号处理部分进行信号重构［4-6］，其原理框图如图1所示。

若滤波器h（t）为理想的低通滤波器，则序列yi［n］的离散傅里叶变换为：

图1 采样系统原理框图

为了便于进一步分析，将式（1）表示成矩阵形式为：

式中，m 维 向 量y（f）的 第i个 元 素 为yi（f）＝L 维向量z（）f 的第l个元素为zl（）f ＝L ＝2L0＋1；矩阵A 为m×L 维矩阵，其第i行第l列元素为Ail＝ci，-l＝。

1.2 数字子信道分离过程

为了减少MWC 压缩采样系统硬件实现的负担，可采用一种数字子信道分离的方法，对每个物理通道的采样输出序列进行数字处理，得到多个新序列，则可达到以较高的采样率换取较少的通道个数的效果，该数字处理过程如图2所示。

图2 某一物理通道的数字子信道分离原理框图

数字子信道分离输出序列为：

其离散傅里叶变换为：

将式（4）转换为时域并写为矩阵形式有：

因此，对于整个MWC 系统而言，有：

2 通道失配分析与校正

2.1 问题分析

实际应用中，系统并不如理论分析中那么理想，由于模拟低通滤波器的群延时、A／D 转换器的孔径抖动及各通道增益的不一致性，实际的采样输出序列中存在未知的增益与延时，整个系统的实际模型为：

式中，M 为由系统通道增益和延时引起的未知对角矩阵。然而若系统各通道延时之间存在一定差异，则系统模型为：

2.2 解决方案

对于某一包含数字子信道分离模块的系统而言，实际情况下的乘性因子M 是固定不变的对角矩阵，即系统各物理通道的延时与增益是固定的，则只需分别输入几个已知稀疏信号，即可根据的系统输出序列对M 进行估算。

为了计算方便，发送几个频率不同的余弦信号作为测试信号，相位可随机选择，则测试信号的系统输出为：

将式（9）中的序列表示为矩阵形式：

由于对角矩阵M 为非奇异矩阵，则存在对角矩阵Δ 满足Δ ＝M-1。因此，式（10）可以表示为：

3 仿真实验

设计一个包含信道分离模块的MWC系统，以捕获在频谱范围F＝ ［-fNYQ／2，fNYQ／2］，fNYQ＝62.5 MHz内的多频带信号。其通道个数m ＝6，每个通道的采样输出被分离为q ＝5组序列，即相当于通道个数为mq＝30的系统。选择混频信号pi（t）周期Tp＝4μs，每个周期内变换M ＝500次符号，符号αik随机产生。

首先针对系统各通道延时一致和系统各通道延时不一致两种情况进行仿真实验，对矩阵M 进行估计。两种情况下系统各通道的增益与延时如表1所示。

表1 系统各通道的增益与延时

将n0个频率不同的余弦信号x1（t）、…、xn0（t）分别作为系统的测试信号，并在信号中加入高斯白噪声，记录信号经过系统后得到的长度为N0＝500的n0组输出序列。根据式（12）对矩阵Δ 进行估计，并根据其估计值求得矩阵 的 估 计。定 义 矩 阵的 估 计 误差为：

式中，mi为mq×mq 维对角矩阵M 的第i个元素，而为对角矩阵＾M 的第i个元素。

图3 的归一化均方根误差与测试信号个数n0 的关系

接下来为了验证校正后系统模型的重构精度，选用一个N ＝6的多频带信号进行实验，其模型为：

式中，sinc（x）＝sin（πx）／（πx）。射频信号的能量系数为Ei＝ ｛1，107，102｝，载波频率fi在［-（fNYQ-B）／2，（fNYQ-B）／2］内随机选择。考虑到实际干扰的情况，在信号上加入与能量最小信号之间的信噪比SNR 为10dB的高斯白噪声w（t），即系统输入信号为x（t）＝x0（t）＋w（t）。该信号的时域波形和频谱如图4所示。

图4 多频带输入信号波形及频谱

图5 根据理论模型恢复的信号波形及频谱

图6 根据校正模型恢复的信号波形及频谱

4 结束语

本文介绍了MWC 压缩采样系统的工作原理，在信号重构恢复理论模型的基础上提出了校正模型，并对这两种方法进行了仿真。仿真结果表明，本文提出的校正模型与原有的理论模型相比，在信号重构精度上有大幅提高，具有较好的实际应用价值。■

［1］杨真真，杨震，孙林慧.信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述［J］.信号处理，2013，29（4）：486-496.

［2］Donoho DL，Tsaig Y.Extensions of compressed sensing［J］.Signal Processing，2006，86（3）：533-548.

［3］Candes EJ，Wakin M B.An introduction to compressive sampling［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2008，25（2）：21-30.

［4］Mishali M，Eldar YC.From theory to practice：Sub-Nyquist sampling of sparse wideband analog signals［J］.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4（2）：375-391.

［5］Mishali M，Eldar YC.Xampling：analog to digital at sub-Nyquist rates［J］.Circuits Devices ＆Systems，IET，2011，5（1）：8-20.

［6］Mishali M，Eldar YC.Wideband spectrum sensing at sub-Nyquist rates［J］.Signal Processing Magazine，2011，28（4）：102-135.