一类Lienard方程零解的全局稳定性

符策红，李 武

（1.海南软件职业技术学院 信息管理系，海南 琼海 571400；2.琼山华侨中学，海南 海口 571100）

一类Lienard方程零解的全局稳定性

符策红1，李 武2

（1.海南软件职业技术学院 信息管理系，海南 琼海 571400；2.琼山华侨中学，海南 海口 571100）

利用构造李雅普诺夫函数方法证明了一类Lienard方程的零解的全局稳定性.

Lienard方程；李雅普诺夫函数；全局稳定

1 引言及引理

著名的Lienard方程

因其具有广泛的实际背景，人们对其研究一直怀着强烈的兴趣，并取得了相当丰富的结果[1-3].

引理1[1]若系统（2）满足

（a1）xg（x）>0，当x≠0时，

（b1）xF（x）>0，当x≠0时，

（c1）

那么，系统（2）的零解为全局稳定.

引理2[2-3]若系统（2）满足

（a2）xg（x）>0，当x≠0时，

（b2）xF（x）>0，当x≠0时，

（c2）

那么系统（2）的零解为全局稳定.

对于系统

的大部分研究集中在周期解的问题上，并取得显著成果[4-7].本文从引理1和引理2入手，证明系统（3）的零解的全局稳定性.

2 主要结果

考虑Lienard方程

满足g（0，x（0））=0，f（t，x（t）），g（t，x（t））在R2上均连续.对（3）作Lienard变化

定理1 若系统满足条件：

（A1）x（t）[g（t，x（t））-p（t）]>0，当x（t）≠0时，

（A2）x（t）F（x（t））>0，当x（t）≠0时，

（A3）存在数列xn→+∞,→-∞使得

则系统（4）的零解为全局稳定.

证明 作系统（4）的李雅普诺夫函数：

所以有：

是正定的，即：V′0，并且在直线y=0除了坐标原点外，不包含整条轨线.

其中满足ynlF(x).

因为V′0，所以轨迹要从区域D内离开，就必须通过边界x=xn,x=但是在x=xn上有：

所以，轨迹经过边界x=xn,x=时候走向都是从外到里，即系统（4）的每一个正半轨都是有界的，定理1得证.

定理2 若系统（4）满足条件：

（A1）x（t）[g（t，x（t））-p（t）]>0，当x（t）≠0时

（A2）x（t）F（x（t））>0，当x（t）≠0时

（A4）∃xn→+∞,→-∞使得

则系统（4）的零解为全局稳定.

证明 条件（A4）满足至少有下面一个条件成立：

理2得到系统（4）的零解为全局稳定.

当条件（3）成立时取区域

对于∀l,xn因为V是正定的，所以∃l>0,xn使得∀P(x,y)∈D有：

并且满足ynl

因为V′0，所以轨迹要从区域D内离开，就必须通过边界x=xn但是在x=xn上有：

所以轨迹经过边界x=xn时候走向都是从外到里即系统（4）的每一个正半轨都是有界的即系统（4）的零解为全局稳定.同理可证，当条件（4）满足时，取，可得到系统（4）的零解为全局稳，定理2得证.

[1]李曾淑,王慕秋.关于Lienard方程零解的全局稳定性[J].数学研究与评论,1985,5(2):67-70.

[2]秦元勋,王慕秋,王联.运动稳定性理论与应用[M].北京:科学出版社,1981.

[3]Vilari G.Periodic solutions of Lienard equation[J].J Math Anal Appl,1982,86:376-386.

[4]Vilari G.On the existence of periodic solutions of the Lien⁃ard equation[J].Nonlinear Anal,1983,7:71-78.

[5]Mawhin J L,Ward J R.Periodic solutions of some forced Lienard differential equation at resonance[J].Arch Math, 1983,41:337-351.

[6]彭世国.时滞的Lienard型方程的周期解[J].工程数学学报,2004,21(3):463-466.

[7]朱宏伟,王梅.具有两个偏差变元的广义Lienard型方程周期解得存在性[J].青岛大学学报:自然科学版,2011,22（1）:5-9.

[8]Guo D.Theory of Functional Analysis[M].Jinan:Shandong Technology and Scienece Publishing House,2001.

责任编辑：毕和平

Global Stability of the Zero Solution for a Class of Lienard Equation

FU Cehong1，LI Wu2
（1.Department of Information Management，Hainan College of Software Technology，Qionghai 571400，China；2.Qiongshan Overseas Chinese Middle School，Haikou 571100，China）

The global stability of the zero solution for a class of Lienard equation was proved by using Lyapunov function method.

Lienard equation；Lyapunov function；global stability

O 175

A

1674-4942（2015）03-0255-02

2015-05-08

海南省自然基金项目（114010）