分块矩阵广义逆的表示
杜法鹏1,2
(1.东南大学 数学系,江苏 南京210096;2.徐州工程学院,江苏 徐州221018)
摘要:文章采用矩阵分解的方法讨论了2×2分块矩阵M=的{1,2}逆,{1,3}逆,{1,4}逆显式表示问题,并利用分块矩阵M的{1,2}逆的表示给出了分块矩阵M的Moore|Penrose逆的显式表达式.
关键词:分块矩阵,广义逆, Moore|Penrose 逆
收稿日期:2015-04-22
基金项目:徐州工程学院培育项目(XKY2014207)
作者简介:杜法鹏(1974-),男,江苏沛县人,东南大学博士后,徐州工程学院副教授,主要从事算子代数、应用泛函分析、算子广义逆理论研究.
中图分类号:O151.21文献标志码:A
文中记Cm×n为m×n阶矩阵的全体. 广义逆理论是应用十分广泛的数学分支,它在数值线性代数、数值分析、最优化、控制论、微分方程及应用数学等众多领域中有着非常重要的应用.奇异方阵是不可逆的,然而在求解矩阵方程时经常遇到奇异矩阵,特别是在求解最小二乘解或最小范数解得时候,就需要广义逆的概念.
1920年,E.H.Moore将非奇异方阵的逆矩阵推广到任意矩阵上去,引入了广义逆的概念. Moore将满足方程AG=PA,GA=PG的矩阵G∈Cn×m定义为矩阵A∈Cm×n的广义逆[1].其中,PX表示矩阵X列向量张成子空间上的投影. 1955年,R.Penrose用以下4个方程给出了1个等价定义:
AXA=A, XAX=X, (AX)*=AX, (XA)*=XA,
称矩阵X为矩阵A的Mooere|Penrose广义逆(简称MP逆),通常记作为A+[2].由于MP逆与最小二乘解有关,因而得到广泛的研究.
为了不同的应用目的,人们根据不同的条件,引入不同的广义逆. 设A∈Cm×n,X∈Cn×m,考虑以下方程:
(1)AXA=A, (2)XAX=X, (3)(AX)*=AX,
(4)(XA)*=XA, (5)AX=XA, (6)AkXA=Ak,
其中,A*表示A的共轭转置,k正整数.
定义1[3]记A{i,j,…,k}为满足以上方程中第{i,j,…,k}个方程的矩阵X∈Cn×m的全体,矩阵X∈A{i,j,…,k}称为矩阵A的一个{i,j,…,k}逆,记作A{i,j,…,k}.
MP逆和Drazin逆是最重要的两类广义逆,也是研究最多的两类广义逆. 本文中主要讨论MP逆的相关问题. 我们知道若MP逆存在,则是唯一的, 由[4, 命题3.5.3]知道下列关系成立:
A†=A*(AA*)+=(A*A)†A*.
下面的引理给出了A-与A†之间的关系:
引理1[5,6]设A∈Cm×n,则有
A†=(I-P-P*)A-(I-Q-Q*)
其中,P=A-A,Q=AA-.
分块矩阵广义逆的表示问题很多文献[3,7,8]都研究过.在文献[7]中R.E.Hartwig借助于Brown|Mccoy引理([7,Lemma 1])在环上给出了2×2分块矩阵广义逆的表示.在文献[8]中,陈永林利用矩阵方程的解给出了2×2分块矩阵{1,2}的表示.在本文中,再次考虑2×2分块矩阵广义逆的表示问题,利用矩阵分解的给出2×2分块矩阵广义逆的显式表达式.
引理3[4,6,10]设S∈Cn×n为幂等矩阵,则I-S-S*可逆.记O(S)=S(S+S*-I)-1,则O(S)2=O(S)=O(S)*(即O(S)为投影).
引理4[7]设A∈Cm×n,则
(1)X为矩阵A的{1,3}逆当且仅当A*AX=A*;
(2)X为矩阵A的{1,4}逆当且仅当XAA*=A*.
引理5设A∈Cm×n,则A-AA-[AA-+(AA-)*-I]-1∈A{1,3}.
证明:记X=A-PR(A),易知AXA=A及AX=PR(A),即X∈A-{1,3},由引理3知PR(A)=O(AA-)=AA-[AA-+(AA-)*-I]-1,因而结论成立.
引理6设A∈Cm×n,则[A-A+(A-A)*-I]-1A-AA-∈A{1,4}.
证明:由引理3知PN(A)⊥=I-O(I-A-A)=[A-A+(A-A)*-I]-1A-A,又PN(A)⊥A-∈A{1,4},故结论成立.
注:在引理5及引理6中分别将A-换成A+,则A+[AA++(AA+)*-I]-1∈A{1,2,3}以及[A+A+(A+A)*-I]-1A+∈A{1,2,4}.
引理7设A∈Cm×n,则矩阵A的任何一个{1,3}逆X都可以表示成
X=A{1,3}+(I-A{1,3}A)Z,
其中,A{1,3}为任意固定的一个{1,3}逆, Z∈Cn×m为任意矩阵.
证明:由引理4(1)知
X=(A*A)-A*+Z-(A*A)-A*AZ,
又(A*A)-A*∈A{1,3},故结论可得.
引理8设A∈Cm×n,则矩阵A的任何一个{1,4}逆X都可以表示成
X=A{1,4}+(I-AA{1,4})Z,
其中,A{1,4}为任意固定的一个{1,4}逆, Z∈Cn×m为任意矩阵.
证明:由引理4(2)可得.
引理9设X,Y∈Cm×n且X+Y=YX+=0, 则G=X++(I-X+X)Y+(I-XX+)为X+Y的一个{1,2}逆,此时,
(X+Y)G=XX++YY+(I-XX+), G(X+Y)=X+X+(I-X+X)Y+Y.
证明:由X+Y=YX+=0知Y(I-X+X)=Y=(I-XX+)Y,简单计算可知
(X+Y)G=XX++YY+(I-XX+), G(X+Y)=X+X+(I-X+X)Y+Y
且(X+Y)G(X+Y)=X+Y,G(X+Y)G=G,即结论成立.
设
本部分主要来讨论分块矩阵M的{1,2}逆,{1,3}逆,{1,4}逆以及MP逆的显式表示问题.
记
EA=I-AA+,FA=I-A+A,Z=D-CA+B,U=EAB,V=CFA,S=EVZFU.
注意到:
从而,
(1)
此时,
且
且
再由引理9 及引理10得
利用公式(1),得出2×2分块矩阵M的{1,2}逆的显式表达式:
其中
A+BFUS+EVCA+;
此时,
证明:由公式(1)及引理11得
其中:
A+BFUS+EVCA+;
且有
注意到,在定理1中M+的表示与子块的{1,2}逆的选择有关. 接下来,考虑分块矩阵M的{1,3}逆,{1,4}逆以及MP逆的表示问题. 为计算方便,在下文中选取子块的MP逆,重新记:
EA=I-AA+,FA=I-A+A,Z=D-CA†B,U=EAB,V=CFA,S=EVZFU.
于是有下列各式成立:
U†EA=U†, U†A=0,A†U=0, US†=0,S†EV=S†, V†S=0,
FAV†=V†, AV†=0,VA†=0,S†V=0,FUS†=S†, SU†=0,
以及
EUEA=I-AA†,-UU†, ESEV=I-VV†-SS†,
FAFV=I-A†A-V†V,FUFS=I-U†U-S†S,
(2AA†+2UU†-I)-1=2AA†+2UU†-I, (2VV†+2SS†-I)-1=2VV†+2SS†-I,
(2A†A+2V†V-I)-1=2A†A+2V†V-I,(2U†U+2S†S-I)-1=2U†U+2S†S-I,
(2VV†+2SS†-I)ESEV=-ESEV,FUFS(2U†U+2S†S-I)=-FUFS.
结合定理1可知此时
(2)
其中:
且有
记
Δ1=(2VV†+2SS†-I)-ESEV(CA†+ZU†)(2AA†+2UU†-I)-1[ESEV(CA†+ZU†)]*
=(2VV†+2SS†-I){I+ESEV(CA†+ZU†)[ESEV(CA†+ZU†)]*},
ξ1=I+ESEV(CA†+ZU†)[ESEV(CA†+ZU†)]*,
则
记
则由引理2可得:
(3)
类似地, 记
ξ2=I+[(A†B+V†Z)FUFS]*(A†B+V†Z)FUFS,
则
(4)
结合引理5,引理6, 得到如下结论:
(1)M有一个{1,3}逆为
(2)M有一个{1,4}逆为
其中
证明:(1)由引理5及公式2,公式3可得; (2)由引理6及 公式2, 公式4可得.
其中
证明: 由引理1及公式(2),公式(3),公式(4)可得.
参考文献:
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[3] Ben|Israel A,Greville T N E.Generalized inverses: theory and applications[M].Springer Science & Business Media,2003.
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[10] Du F,Xue Y,The expression of the Moore|Penrose inverse of A|XY*[J].华东师范大学学报:自然科学版,2010(5):33|37.
The Expression for the Generalized Inverse of Block Matrix
DU Fapeng1,2
(1.Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 210096, China;
2.Collage of mathematics & Physical Sciences, Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221008, China)
Abstract:By decomposition,this paper presented the explicit expressions for the {1,2} inverse, {1,3} inverse and {1,4} inverse of block matrix,respectively.Using the expression of {1,2} inverse,the expression for the Moore|Penrose inverse of was got.
Key words:blocking matrix; generalized inverse; Moore|Penrose inverse
(编辑崔思荣)