基于渐进结构法的散热通道构建技术

张林森，丁晓红，熊　敏

(上海理工大学 机械工程学院，上海 200093)



基于渐进结构法的散热通道构建技术

张林森，丁晓红，熊敏

(上海理工大学 机械工程学院，上海 200093)

摘要:针对高热流密度问题，基于渐进结构优化方法的基本原理，构建高效的散热通道。以热耗散最小为优化目标，建立传热结构数学优化模型；通过敏度计算，将低效单元逐步转换成低导热材料；以若干平面和三维薄壳结构的典型算例为对象，得出优化结果，并与密度法所得结果进行对比；结果表明，渐进结构优化方法不仅适用于平面结构，而且适用于三维薄壳结构的散热通道的构建。

关键词：渐进结构法;散热通道;拓扑优化

0　引　言

随着微电子领域对产品性能要求的提高，芯片的集成度不断增加，电子元器件的热流密度越来越大，而用于表面对流强化散热的有效空间越来越小，导致器件内部的热量不能及时排出，引起内部的温度过高，从而带来了致命的高热流密度问题。因此，为了有效控制电子元器件的内部温度，需要在器件内部填充高导热材料，构建高效的散热通道，将内部热量导出到器件表面，再通过对流或其它方式将热量带走。

构建高效散热通道的方法有：将固体力学领域的拓扑优化方法SIMP法应用到热传导结构的优化设计中[1，2]，定义了材料的密度和热传导系数之间的关系，将材料密度作为设计变量，利用惩罚因子减少中间密度单元，通过优化准则法得到最优结果；利用SIMP插值的密度法对热传导结构进行拓扑优化分析时[3]，应用高阶单元来克服数值不稳定性的现象，并进一步将设计域扩展到三维。由Xie和Steven提出的渐进结构优化方法，通过逐渐去除结构中的低效材料或无效材料，最终使整体结构“进化”到最优形态[4-5]。该方法在最小柔顺性设计、特定自振频率等拓扑优化设计中获得了较大成功，优化结果不产生中间密度单元，结构清晰，可同时实现形状与拓扑优化，优化结果更易应用于工程实际。

因此，本文基于渐进结构优化方法的基本原理，以热耗散最小为优化目标，建立传热结构数学优化模型，探讨典型边界问题的平面及三维管壁结构的散热通道优化，通过与密度法所得优化结果的比较，说明此方法的可行性和通用性。

1　传热结构拓扑优化数学模型的建立

图1 二维热传导问题

如图1所示,在设计区域Ωd内有生热率载荷Q,存在边界条件为T0。传热结构的拓扑优化问题为:高导热材料如何在区域Ωd中合理分布,形成高效散热通道,将区域内的热量传递到边界。

以热耗散最小为优化目标的传热结构优化数学模型为：

(1)

KT=P

(2)

xi∈0 or 1

式中，xi为离散后的设计变量；E为热耗散；K为热传导矩阵；T为节点温度列阵；vi为第i个单元的体积；P为热载荷列阵。

求取目标函数的灵敏度：

由式(1)和(2)可得：

(3)

式(3)两边对设计变量xi求偏导得：

(4)

由式(2)和K的对称性可得PT=TTK，结合式(4)可得

(5)

式(5)为结构总灵敏度。渐进结构优化方法是逐渐去除低效单元，即逐步用低导热材料填充灵敏度小的单元，从而得到热传导的最优路径。则由总体传热矩阵可知单元i由高导热材料转变为低导热材料引起目标函数的变化为：

(6)

式中，Ki为伪密度等于1时的单元热传导系数阵；Ti为第i个单元的温度向量。

2　渐进结构法的热传导优化流程

渐进结构法的优化思想是将设计域中低效的高导热材料逐步地由低导热材料替换，最终实现整体传热结构的优化。编程实现上述思想,流程图如图2所示。

(1)设定参数，材料删除率α，进化率b，建立有限元模型，确定边界条件；

(2)热分析；

(3)灵敏度分析；

(4)选择设计域中的单元，将各单元敏度值与设计域中敏度最大值相比，若小于删除率α则对单元i去除或弱化，即将单元i从高导热材料改为低导热材料。如果删除率已经达到上限，则进化删除率a=a+b；

(5)判断是否达到收敛，如果达到收敛则跳出循环，否则返回步骤(2)，直到达到收敛条件。

图2 优化程序流程图

3　数值算例

3.1　平面传热结构拓扑优化问题

平面设计域Ωs为1 m×1 m的正方形，热源的生热率为Q=3×106W·m-3，热沉温度T0=0 ℃，高导热材料Kp=200 w/(m·k)，低导热材料K0=1 w/(m·k)，删除率a=0.5%，进化率b=0.5%，高导热材料体积约束为50%。

(a)单点热源

在考虑平面设计问题中，首先探讨单点热源条件下不同的热沉情况。其设计域Ωs内中心点加热，图3(a)为四边边界热沉，图4(a)为四角热沉，其余边界绝热。图3(b)、4(b)为优化后结果，图中黑色区域为高导热材料，白色区域为低导热材料。

图3 中心点发热-四边热沉

图4 中心点发热-四角热沉

图3和图4分别为中心发热-四边热沉和中心发热-四角热沉的情况，渐进结构法的拓扑形态与密度法拓扑形态基本相同，分别呈“十”字和“X”的形态，高导热材料主要分布在热源与热沉连接的最短路径上，结构形态合理；但渐进结构法的外围轮廓更清晰，而密度法外围轮廓存在中间单元。

(b)多点热源

其次，对平面内多点发热、不同热沉的情况进行探讨。多点热源位置分布如图5(a)、6(a)所示，分别为中心点及中心点到各边距离的中点，共计5个点热源，图5(a)为四边边界热沉，图6(a)为四角热沉，其余边界绝热。图5(b)、6(b)为优化后结果，图中黑色为高导热材料，白色为低导热材料。

图5 多点发热-四边热沉

图6 多点发热-四角热沉

由图5(b)所示中心多点发热-四边热沉的情况，渐进结构法优化结果：除中心点外的4个点热源到边长最短路径上充满材料，且材料主要集中在此处，中心点由中心向集中材料处两边相切连接，且中心发热点与其余四处材料非连接处呈镂空形态。如图6所示为中心多点发热-四角热沉的情况，优化结果与贺丹[8]在同样工况下得到的拓扑结果相比，拓扑形态相同，但可以看出本文中的拓扑轮廓相对光滑，这是因为网格划分相对精细的原因，同样也说明渐进结构优化方法中，也不可避免存在网格依赖的现象。

(c)均匀产热

如图7、图8和图9所示设计域内均匀产热，分别对应于四边热沉，四角热沉和单点热沉的情况。

图7 均匀产热-四边热沉

如图7(b)和(c)所示均匀产热-四边热沉的优化结果，密度法中，低导热材料部分呈现了一个“X”形状，渐进结构法的低导热材料不但有“X”形状，同时出现“十”字的情况。密度法的高导热材料主要集中在四边热沉中心的位置且到四个角点呈递减分布，相对于渐进结构法，其高导热材料分布出现更细小的分枝。

如图8(b)和(c)所示均匀产热-四角热沉的优化结果，无论是渐进结构法还是密度法，低导热材料的分布都有着明显的“十”字形态，在渐进结构法中，高导热材料分布体积约束为50%，高导热材料主要集中在四角，且分布成了类似于“手”的形状，密度法中体积约束为30%，高导热材料形成了形似四棵树的形状。

图8 均匀发热-四角热沉

如图9(b)和(c)所示均匀产热-单点热沉的优化结果，高导热材料主要集中在热沉点上，从热沉点出发，形成分支形状，同样，密度法会得到更为细小的分支，但同时也会存在中间密度单元。

图9 均匀发热-单点热沉

由以上结果可以得出，从单点热源、多点热源到均匀产热，所得到的散热通道拓扑形态相应地越来越复杂，传热分支也越多；不同的热源和热沉边界条件下，渐进结构法所得的散热通道有着清晰的边界，密度法所得散热通道存在中间密度单元，但密度法与渐进结构法相比，其形成的散热通道有着更为细小的分支，对于降低结构温度，均匀化温度梯度，有着更好的效果。

3.2　三维薄壁管传热结构拓扑优化问题

如图10(a)所示为三维薄壁管状算例模型，管长l=2 m，外径R=0.4 m，管壁h=0.05 m，管的外表面有尺寸为s=0.04 m×0.04 m方形热沉，温度为T0=0 ℃，管体表面有生热率Q= 3×106W·m-3，高导热系数Kp=80 w/(m·k)，低导热系数K0=0.5 w/(m·k)，材料删除率a=0.1%，进化率b=0.1%，体积约束为30%。由于管壁尺寸相对于管径尺寸小很多，因而采用壳单元。

图10 三维薄壁管状体结构材料分布变化过程

如图10所示为优化过程中高导热材料体积分数分别为80%、60%、30%时的拓扑形态，可以看出在远离热沉点的位置材料最先去除，高导热材料主要集中在热沉点的周围，呈铺开的分支状，拓扑形态清晰，外围轮廓也无中间密度单元。图11为迭代过程中体积随删除率的变化关系曲线。图12(a)为渐进结构法的所得优化结果，与密度法的优化结果相比较，在远离热沉点的位置材料分布越少，分支也越细小。在中心热沉处，密度法的高导热材料对称断裂分为两部分，而渐进结构法的高导热材料为一个整体。总之，通过三维薄壁管状结构热通道的优化可以看出，渐进结构法同样适用于三维传热结构。

图11 体积比与删除率的迭代过程

图12 三维薄壁管状体结构在渐进结构法与密度法对比

4　结　论

本文基于渐进结构优化方法，建立了传热结构拓扑优化数学模型；通过灵敏度分析，分别就平面问题和三维薄壳问题，考虑不同的热源和热沉条件，得到优化结果；并与密度法进行了比较。结果表明，渐进结构法不仅对于二维问题的稳态热传导具有有效性，对三维薄壳问题也同样适用，密度法比渐进结构法形成的散热通道分支更细小，即密度法在降低结构温度和均匀化温度梯度上，具有更好的效果；但采用渐进结构法得到的散热通道无中间密度单元，具有更好的工程实用性。

参考文献：

[1]左孔天,陈立平,张云清，等.用拓扑优化方法进行热传导散热体的结构优化设计[J]. 机械工程学报,2005, 41(4):13-16.

[2]蒋良杰,熊蔡华.基于SIMP方法的散热结构拓扑优化设计[J].机电一体化,2006，(6) : 14-16.

[3]崔天福.基于密度法的传热结构拓扑优化理论研究[D].上海：上海理工大学，2014.

[4]Xie Y M, Steven G P. Shape and layout optimization via an evolutionary procedure[C]. In: Proceedings of the International Conference on Computational Engineering Science, Hong Kong, 1992.

[5]Xie Y M, Steven G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization[J].Computers&Structures, 1993,49: 885-886.

[6]程广新,孟继安,过增元.导热优化中的最小传递势容耗散与最小熵产[J].工程热物理学报，2005，(06):136-138.

[7]过增元,程广新,夏再忠.最小热量传递势容耗散原理及其在导热优化中的应用[J].科学通报，2003，(01):21-25.

[8]贺丹.渐进结构优化方法的改进策略及应用[D].大连:大连理工大学,2008.

研制开发

Construction Technology of Cooling Channel Based on

Evolutionary Structural Optimization Method

ZHANG Lin-sen，DING Xiao-hong，XIONG Min

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:In this paper, evolutionary structural optimization method is applied to high heat flux problem in order to build efficient cooling channels. The optimization model is established with the target of minimizing heat dissipation in design area. During the optimization process, material of the inefficient elements is gradually changed into low thermal conductive material after calculating element sensitivity. Optimization results of some typical examples with plane or three-dimensional thin shell structure are calculated, which are then compared with results from density method. The comparisons show that, evolutionary structural optimization method is not only applicable to cooling channel design of plane structure but also suitable for that of three-dimensional thin shell structure.

Key words:evolutionary structural optimization method; cooling channel; topology optimization

中图分类号：TK124

文献标识码：A

文章编号：1009-3664(2015)02-0013-04

作者简介：张林森(1988-)，男，硕士研究生，研究方向：结构优化设计。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50875174，51175347)，上海市教委科研创新重点项目(13ZZ114)。

收稿日期：2014-12-15