浅析公路控制测量中央子午线设计

陈阳亮

(福建省交通规划设计院 福建福州 350004)

1 概述

公路、铁路、输电线路、地下管线等都是带状的线路，它们的规划和设计都是结合国家计划及实地自然地理情况而优化布设的。在勘察设计过程中的控制测量因线路长、地形起伏较大，不可避免会造成投影变形。在《公路勘测规范》规定:选择路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值满足1kn边长小于2.5cm;大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值应满足1km边长小于1cm;所以在公路平面控制测量中对中央子午线的设计，应根据测区所处地理位置、高程等因素，合理选择中央子午线及度带分段和投影高程面。

2 投影变形和分带投影

地球是个地表凹凸不平的椭球体，将椭球面上的地物、地貌按一定的数学法则投影到平面上，叫投影。投影后所产生和原来的角度、距离和图形上的差异，这种差异叫做投影变形。我们平常所用的地形图一般采用横切圆柱投影——高斯-克吕格投影，就是设想用一个横椭圆柱面套在地球椭球体外面，并与旋转椭球体面上某一子午线相切，相切的子午线称中央子午线，同时使椭圆柱的轴位于赤道面内并通过椭球体中心，然后将中央子午线附近的旋转椭球面上的点、线、面投影到横切圆柱上，再顺着过极点的母线，将椭圆柱面展开形成的投影面(图1)简称高斯投影平面。

图1 高斯投影平面

在高斯投影中，除了中央子午线投影为直线且长度不会发生变化，其余的子午线均为凹向中央子午线的曲线，其长度大于投影前的长度，且离中央子午线越远长度变形越大。为了控制这种长度变形，使变形满足1/40000精度允许范围内，通常采用分带法投影，即在相隔一定地区另外设立一条中央子午线，以满足工程建设及施工的要求。我国通常采用6°和3°两种分带投影方法，一般来说，对于 1/25000～1/100000的地形图采用6°带 ，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3°带。

假设某一线路较长，线路可能会穿越多个的投影带，因为我们知道了越靠近投影带的边缘，高斯投影变形就会越大，我们必须采取一定的方法对变形加以限制，采取分带投影。方法就是通过移动投影带的中央子午线，将一个投影带边缘的线路坐标转换到另一个投影带中进行处理计算，从而达到减小变形、将变形控制在允许的范围之内，并在成果中加以说明。如(图2)所示，有一条线路穿过两个3o带的情况，因为越靠近投影带的边缘长度变形越大，所以为了减小长度变形，我们向左适当移动2号带的中央子午线 x＇，这样就可以使2号带边缘的点通过移动就转到靠近1号带中央子午线x的附近，因为这两个带有重叠部分，所以这两个带之间就存在着共同的几何关系，由这一几何关系和相邻带的坐标换算就可以计算出该点在1号带的相应坐标，由此，我们实现了减小线路在投影带边缘的长度变形和坐标换算的目的。

图2

3 由投影改正公式反算测距边中点的横坐标

《公路勘测规范》规定:测量距离应按式1-1和1-2分别进行归化改正和投影改正。

式中:D0——观测边长度(m);

D1——归化改正后的边长(m);

Rm——参考椭球体在测距边方向上的法截弧曲率半径(m);

Hm——测量边的平均高程(m);

hm——测区大地水准面高出参考椭球面的高差(m);

D2——投影改正后的边长(m);

Ym——测距边中点的横坐标(m);

△y——测距边两端点横坐标的增量(m);

由上两式可以反求Ym，其中1-1式可以不用，1-2式中的第三项可忽略不计，当投影长度变形值要求小于 2.5cm/km，Ym=45km(Rm取值6365338m)，这就要求在选定中央子午线时，距中央子午线两边的距离最大不能超过45km，否则投影长度变形值会大于2.5cm/km，即这个度带覆盖的最大范围为90km，当测区所处位置在北纬26°时(福建省的平均纬度)所覆盖的经度范围约为54＇;当投影长度变形值要求小于1cm/km，Ym=28.5km，这就要求在选定中央子午线时，距中央子午线两边的距离最大不能超过28.5km，否则投影长度变形值会大于1cm/km，即这个度带覆盖的最大范围为57km，当测区所处位置在北纬26°时(福建省的平均纬度)所覆盖的经度范围约为34＇。

4 由归算测距边长度公式反算测距边平均高程与测区平均高程之差

测距边两端点平均高程面上的水平距离要归算到测区平均高程面上的测距边长度，应按式1-3计算。

式中:D0——测距边两端点平均高程面上的水平距离(m);

D——归算到测区平均高程面上的测距长度(m);

Hm——测量边两端的平均高程(m);

Hp——测区平均高程(m);

RA——参考椭球体在测距边方向上的法截弧曲率半径(m);

由1-3式可以反算测距边平均高程与测区平均高程之差(Hp-Hm)，当要求归算到测区平均高程面上的测距边长度变形值小于2.5cm/km，(Hp-Hm)=159m(RA取值6365338m)，这就要求测距边平均高程与测区平均高程之差(Hp-Hm)不能大于159m时，否则归算到测区平均高程面上变形值会大于2.5cm/km;当要求归算到测区平均高程面上的测距边长度变形值小于1cm/km，(Hp-Hm)=64m，这就要求当测距边平均高程与测区平均高程之差(Hp-Hm)不能大于64m时，否则归算到测区平均高程面上变形值会大于1cm/km。

由上面两个反算可以得出如下结论:①当投影长度变形值要求小于2.5cm/km，应根据公路测区长度合理选择中央子午线，使其两边边缘距中央子午线的距离不超过45km，当测区所处位置在北纬26°时(福建省的平均纬度)所覆盖的经度范围约为54＇;当投影长度变形值要求小于1cm/km，应根据公路测区长度合理选择中央子午线，使其两边边缘距中央子午线的距离不超过28.5km，当测区所处位置在北纬26°时(福建省的平均纬度)所覆盖的经度范围约为34＇。②在做公路平面控制设计时，还应考虑测区平均高程，当要求归算到测区平均高程面上的测距边长度变形值小于2.5cm/km，测距边平均高程与测区平均高程之差(Hp-Hm)不能大于159 m，否则就要归算到测区平均高程面上的测距边长度;当要求归算到测区平均高程面上的测距边长度变形值小于1cm/km，测距边平均高程与测区平均高程之差(Hp-Hm)不能大于64 m，否则就要归算到测区平均高程面上的测距边长度。

5 案例分析

京台高速公路福建建瓯至闽侯、古田至屏南连接线段测区东起东经 119°10＇50″，西至东经 118°21＇00″;北起北纬 27°03＇57″，南至北纬 26°07＇34″。路线主线全长约100 km，横跨经度 49＇50″(约82 km)。线路在测区内为西北-东南走向，路线范围内的地面高程在7m～1100m之间，特别地延平区与古田县交界处、古田县与闽清县交界处的地面高程在1000m以上，高差较大。设计线路京台线建瓯至闽侯段平均设计高程约为300m，古田至屏南连接线平均设计高程约为600m。为保证测区所选平面坐标系内投影长度变形值不大于2.5cm/km，根据上述计算所得结论，本线平面控制设计如下:在1980年西安坐标系的基础上建立京台线建瓯至闽侯段、古田至屏南连接线抵偿坐标系，中央子午线采用东经118°45＇(测区边缘离中央子午线最大横跨经度为 25＇50″，小于 27＇)，京台线建瓯至闽侯段抵偿投影面的高程为300m，古田至屏南连接线抵偿投影面的高程为600m。所选抵偿投影面的高程虽然不能使归算到测区平均高程面上的测距边长度变形值小于2.5cm/km，但从测区的平均高程来看，这是最好的选择。如遇大型构造物，平面控制测量设计需另外设计，则可按投影长度变形值小于1cm/km进行设计。

总结:在线状跨区域大的控制测量中，对中央子午线的选取非常重要，如果中央子午线选取不合理，投影的中央子午线就会偏离实际坐标系正确的中央子午线，且离中央子午线越远，变形就越大，误差也就越大。

[1]张凤举等.控制测量学[M].北京:煤炭工业出版社.2001.

[2]JTG/T C10-2007，公路勘测规范.

[3]彭先进.测量控制网的优化设计.武汉:武汉测绘科技大学出版社.1991.