约束最小二乘法实现退化图像复原

李曼

摘要：该文主要讨论约束最小二乘法原理，对由运动模糊加性噪声产生的退化图像进行复原，并比较最小平方滤波和维纳滤波的滤波效果。

关键词：图像退化与复原；退化模型；点扩散函数PSF；约束最小平方滤波；维纳滤波

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）26-0152-02

Constrained Least Squares in Realization of Degraded Image Restoration

LI Man

（Computer Center ，School of Mathematics and Computer Science， Jianghan University， Wuhan 430056， China）

Abstract： This article mainly discusses the constrained least squares method. Rehabilitation the degraded images generated by motion blur and noise by least square filtering and Wiener filtering， and comparing the filtering effect of the both.

Key words： image degradation and restoration； degradation model； point spread function PSF； Constrained least square filtering； Wiener filtering

在获取数字图像中，由于被摄物体和摄像机之间的相对运动、相机抖动、环境随机噪声等原因，使图像变得模糊从而产生图像退化。退化图像复原是通过去模糊函数而去除图像模糊，是一种图像质量降低的逆过程，其关键是要获取图像的退化过程从而建立退化模型。图像退化现象是用卷积来描述的，实现图像复原可在空间域卷积或频域相乘，是一个反卷积过程。本文主要讨论有约束最小二乘法，其中包括维纳滤波和有约束最小平方滤波，实现含有噪声运动模糊图像复原。

1 图像退化的数学模型

1）图像的线性退化和复原模型

已知退化图像[g（x，y）]，退化系统[h（x，y）]和加性噪声[n（x，y）]。图像退化以及复原过程模型为：

2）图像退化模型

由于变速的非直线运动造成的模糊图像可以分解成各个分段的匀速直线运动，因此主要讨论均匀直线运动造成模糊图像的复原。从物理观点看，目标图像是经过距离延迟后再叠加形成运动模糊图像。在相机快门打开到关闭时间内的积分为连续退化函数模型：

[g（x，y）=0Tfx-x0t，y-y0（t）dt]

其中[x0t]和[y0t]分别为x和y轴方向上运动分量。在空间不变线性系统中，输入图像[f（x，y）]经退化算子H后输出退化图像[g（x，y）]，表述为：

[g（x，y）=Hf（x，y）=H-∞+∞-∞+∞f（α，β）δ（x-α，y-β）dαdβ=-∞+∞-∞+∞f（α，β）h（x-α，y-β）dαdβ=f（x，y）*h（x，y）]

结果为输入图像[f（x，y）]与退化系统冲激响应函数[h（x，y）]的卷积，[h（x，y）]也称为退化系统的点扩展函数SPF。如果考虑噪声（加性噪声）的影响，上式可得：

[g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）+n（x，y）]

在频域中经过傅立叶变换表示为：

[G（u，v）=H（u，v）F（u，v）+N（u，v）]

2 点扩散函数（point spread function）PSF

从光学角度分析，点扩散函数为输入点光源δ函数，输出像的光场分布为脉冲响应，即点扩散函数为脉冲响应函数。在线性系统中，目标X1的像X2为X2=X1*H。如果X1为冲击函数，H为卷积系数即PSF。X2质量取决于PSF，PSF越偏离冲击函数，X2越模糊。运动模糊点扩散函数PSF的傅里叶变换[H（u，v）]由下式给出：

[H（u，v）=sin（πvtu）πVu]

其中V为在时间T内沿x轴方向的速度。

3 约束最小二乘法原理

约束最小二乘法复原必须对原始图像、PSF和噪声特性有先验知识。假设[Q]为[f]的线性算子，[f]为[f]的最优估计而使下列函数为最小：[Qf2+α（g-Hf2-n2）]

[f]可表示为：[f=（HTH+γQTQ）-1HTg] 其中[γ=α-1]。[α]为拉格朗日算子。

约束最小平方滤波复原是反复迭代常数[α]直至[g-Hf2=n2]。

维纳滤波复原方法考虑图像信号[f]和噪声[n]为平稳随机过程，并定义[QTQ=R-1fRn]，得出[f=（HTH+γR-1fRn）-1HTg]。其中[Rf=EffT]和[Rn=EnnT]为图像和噪声的自相关函数。[Rf（x，y）]和[Rn（x，y）]的傅立叶变换[Sf（u，v）]和[Sn（u，v）]分别为图像和噪声的功率谱，信噪比为：[SNR=Sf（u，v）/Sn（u，v）]，维纳滤波复原原理为：

[F（u，v）=1H（u，v）H（u，v）2H（u，v）2+γ1SNRG（u，v）+N（u，v）]

调整[γ]为可调整参数维纳滤波器，当[γ]<1的参数化维钠滤波复原效果较好。

4 在Matlab中模糊图像复原实现

4.1 确定点扩散函数PSF

在实验中对真实的模糊图像进行复原时，不知道其准确的失真函数，但可以估计该模糊是由摄像物体以水平线0角度为基准逆时针方向以THETA角度运动了LEN个像素构成的。函数SPF = fspecial （'motion'，LEN，THETA）产生一个反映匀速直线运动的二维滤波器，即运动模糊算子。设置参数LEN=4和THETA=1，得到点扩散函数PSF。

维纳滤波函数WN=deconvwnr（I，PSF，NSR），通过实验得到的点扩展函数PSF来修复原始模糊图像，信噪比NSR取值不同得到的复原图像WN效果不同。当信噪比分别取0.7、0.1、0.04、0.001时，显示NSR=0.04去模糊滤波效果最好。

复原图像WN看成无模糊无噪声清晰图像，当THETA和LEN分别取不同值4，1或10，1或20，10时，得到不同的SPF，分别代入函数J=imfilter（WN，PSF，'circular'，'conv'）中，该函数对任意二维图像使用卷积进行滤波。得到模糊退化处理后的图像J，与原始拍摄的模糊图像I进行比较，相似度最高的是当参数LEN 和THETA分别为4，1时最接近实际图像的模糊程度。4.2 约束最小二乘法复原

1）平滑度最小平方滤波复原

实际模糊图像由于光照强度或传感器温度等等原因也会含有高斯噪声。对原始图像I估计并确定含有均值为0，方差为v=0.0001的高斯噪声。计算噪声能量NP，对图像I进行最小二乘类deconvreg平滑度最小平方滤波复原。复原效果由与原图像的相似度来衡量，通过公式var（WN（：））/var（G（：））的比值来计算，其中G为复原后的图像。

NP=v*prod（size（I））

NPL=deconvreg（I，PSF，NP）

计算相似度比值为：0.9210。

由于图像边界不连续性产生环形，复原前使用函数edgetaper进行预处理，函数返回拉格朗日算子Lagra。设定约束算子Regop=[1 -2 1]，代码如下：

Edged=edgetaper（I，PSF）；

[Leg1，Lagra]=deconvreg（Edged，PSF，NP）

Leg2=deconvreg（Edged，PSF，2*NP）

当增大噪声强度2*NP，原始图像与复原图像相似度比值由0.9698提高到0.9859。

Leg3=deconvreg（Edged，PSF，[]，10*Lagra，Regop）

Leg4=deconvreg（Edged，PSF，[]，Lagra，4*Regop）

当减小拉格朗日算子并增大约束算子时复原效果较好。复原比值分别为：0.9872、0.9959

2）维纳滤波复原

计算信噪比，采用函数deconvwnr（）对图像进行维纳复原。

NSR=0.0001/var（WN（：））；

WNWL=deconvwnr（I，PSF，NSR）；

原始清晰图像与复原图像比值为：0.7880。

3）图像自相关信息维纳滤波复原

使用图像的自相关信息进行复原。计算噪声能量以及噪声和图像的自相关函数，对图像I进行维纳复原：

NN=I-WN

NNP=abs（fft2（NN））.^2

NCORR=fftshift（real（ifft2（NNP）））

IIP=abs（fft2（I））.^2

ICORR=fftshift（real（ifft2（IIP）））

WNZX=deconvwnr（I，PSF，NCORR，ICORR）

原始清晰图像与复原图像比值为：0.9584。

5 结束语

本文描述了通过实验确定退化系统的点扩散函数PSF，在此基础上使用平滑度最小平方滤波和维纳滤波对图像进行复原。通过改变参数如噪声强度、拉格朗日算子、约束算子等等的设置，得到不同复原结果，其中减小拉格朗日算子同时增大约束算子时复原效果最好。在维纳滤波中采用图像与噪声的自相关性滤波效果较好。

参考文献：

[1] 杨丹， 赵海滨. Matlab图像处理实例详解[M]. 北京： 清华大学出版社， 2013.