一致连续性概念的教学探讨与反思

兰尧尧

摘要：函数的一致连续性是数学分析中一个非常重要的概念，刻画了函数在区间上的整体性质。本文主要探讨一致连续的概念教学，并对教学实际进行了反思。

关键词：一致连续；逐点连续；直观教学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）16-0229-02

一、引言

函数的一致连续性是分析数学中一个非常重要的概念，刻画的是函数在区间上的整体性质。在函数的可积理论、积分（弧长公式）、函数序列以及含参变量积分等一系列问题的证明过程中，一致连续性都起到了关键作用，没有这个概念，这些结论都无法得到。因此，深刻理解一致连续的概念对后续课程的学习与数学思维的培养都是至关重要的。另一方面，就数学知识本身的拓展与深化而言，从逐点连续到一致连续，体现了怎样的数学思想与方法，这对培养学生良好的数学修养与思维都是裨益良多的。

二、借助几何直观，类比教学

数学分析中几个的“一致性”概念都比较抽象，不易理解。“一致连续”是学生遇到的第一个“一致性”概念，因此，利用几何直观引入概念，正本清源，同时注意将逐点连续与一致连续进行类比，让学生顺利跨越这“第一道坎”，对后续课程的学习是至关重要的。

在课堂教学中，我们尊重学生认知事物的基本规律，使学生首先形成一致连续概念的表象，再通过表象抽象出一致连续概念，通过练习加强概念的理解，并由教师介绍一致连续在后续课程中的作用，使学生对该概念的重要性有初步的印象。

本课时的教学由下面四个环节构成：

第一环节：问题提出。

函数的逐点连续性是函数的局部性质，而一致连续性则是一种更强的连续性，刻画的是函数在区间上的整体性质。

问题一：函数在某点处连续（逐点连续）的本质是什么？（ε-δ定义）

一致连续性对于学生而言，高度抽象，难以理解，学生对为什么要引入该概念感到困惑。首先，复习函数逐点连续的概念，温故知新，通过类比，引出更强的连续性——一致连续。

问题二：逐点连续定义中的δ与ε、x都有关，随ε、x的变化而变化，启发学生，若取δ=■{δ（ε，x）}>0，会得到什么样的结论？即是否存在公共的δ？（几何直观，多媒体演示）

通过对逐点连续地分析，总结出其本质——不要求存在公共的δ，使得函数在每一点连续、区间上各点之间的连续性不需要进行比较，这是“自扫门前雪”，也正是逐点连续，还是函数在区间上局部性质的本义。那么，我们要研究区间上函数的整体性质需要什么样的连续性呢？

基于几何直观的教学，有助于学生对抽象概念本质的理解，“看图识字”可以使学生记得牢，学得活。

第二环节：引出定义。

定义：设函数y=f（x）为定义在区间上的函数。若对任意ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x■，x■∈I，只要x■-x■<δ，就有f（x■）-f（x■）<ε.

PPT演示（几何直观）“不一定连续”：

如果函数剧烈震荡，非常“陡”，或者函数曲线几乎垂直于x轴时，将导致δ=■{δ（ε，x）}=0，此时函数不一致连续。

定义：（不一致连续）设函数y=f（x）为定义在区间上的函数，若存在ε■>0，对任意δ>0，存在x■，x■∈I，虽然x■-x■<δ，但f（x■）-f（x■）≥ε■.

第三环节：定义运用。

例1.证明函数y=■在[0，+∞）上是一致连续的。

本例借助几何直观，寻求■{δ（ε，x）}，有助于学生掌握公共的δ的取法。

例2.证明函数y=■在（0，1）上不一致连续（尽管其在（0，1）上逐点连续）。

第四环节：课堂小结。

教师总结：本节课学习了一致连续的概念，通过与逐点连续的类比，我们得到：（1）一致连续必连续，反之不成立（见例2）；（2）一致连续是函数在区间上的整体性质，而逐点连续是局部性质。

在今后的学习中我们将看到一致连续所发挥的重要作用，如在函数的可积理论、积分（弧长公式）、函数序列以及含参变量积分等一系列问题的证明过程中，一致连续都起到了重要作用，没有这个概念，这些结论都无法得到。

三、教学反思

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为学习数学的目的不是一成不变的，在不同的社会背景下，所需达到的目的也不同，他总结了五点：①掌握数学的整个体系；②学会数学的实际应用；③数学作为思维的训练；④数学作为筛选的工具；⑤培养解决问题的能力。由于授课对象为师范生，我们将课程定位在思维训练与培养解决问题的能力上，因此，在进行教学设计时，我们更注重思维发生的过程，重视一致连续性概念的形成过程，结合几何直观，激发学生的学习兴趣，使得抽象问题形象化，让学生充分体现数学的应用价值与思维价值。

（一）教学方法反思

本次课主要采用问题驱动结合讲授法进行教学，以恰当的问题为纽带，结合几何直观，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成一致连续性概念，引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维。

从课堂反馈来看，学生在问题链的引导下，能够主动思考并回答问题，一致连续的概念在解决问题的过程中被发现、被吸收、被应用。此外，师生、生生共同解决问题的过程也是师生情感交流、融洽课堂气氛的过程。不过，更为理想的状态是能让学生自己发现并提出问题，而不是由教师“包办”其思维与推理，使得学生囿于设定好的问题与情境之中。另一方面，要引导学生提出触及概念本质的问题，避免天马行空不着边际的发散思维，从而降低课堂的有效性，这是采用问题驱动教学法尤其需要引起注意的地方，也促使我在今后的教学中不断反思与改进。

（二）教学过程反思endprint

整个教学过程体现了教为主导，学为主体。课堂围绕教学重点展开，教学目标得到了实现，难点得到了化解。另一方面，通过学生的学习活动与教师的教学活动，总结了今后值得注意与改进的地方，具体分析如下。

1.教学目标。本课的教学目标是使学生理解一致连续与逐点连续的区别与联系；掌握利用定义验证函数的一致连续性；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。从课堂实施情况看，借助几何直观，提出问题之后，学生能通过与逐点连续定义的类比归纳出一致连续性的本质，进而抽象出其ε-δ定义，并运用定义证明函数的一致连续性。总之，本课的教学目标得到了实现。

2.教学重难点。本课的重点是一致连续性概念，难点是一致连续与逐点连续的区别与联系。利用定义验证函数在区间上的一致连续性，从课堂实施情况看，教学过程紧紧围绕教学重点展开，从问题提出→引出定义→定义应用→课堂小结，环环相扣，凸显重点，化解难点，学生对一致连续这一抽象概念有了较好的理解。数学分析中几个“一致性”概念都是比较抽象的、不易理解的，“一致连续”是学生遇到的第一个“一致性”概念，因此在本次课中，学生顺利跨越了这“第一道坎”，这为后续课程的学习打下了良好的基础。

3.学生的学习活动。思维活跃，积极思考教师提出的问题，充分调动自己的原有知识解决问题，主动参与讨论、交流。不过，在运用定义证明函数的一致连续性时，部分学生对δ的选取无从下手，尽管知道利用反推的方法进行δ的选取，但在不等式放缩时遇到了问题，无法顺利使用一些常用的技巧，这与学生原有的基础有关，也与课后练习不够有关。

4.教师的教学活动。精心设计问题，引导学生思考、讨论，对学生的回答给予了肯定与鼓励，注重保护学生的积极性。教学基本是在教师的问题引导下，以学生的主动探究为主，一步一步接近概念，教师对课堂的调控有自己的考虑，做到了有计划、有目的的进行教学。但整个教学过程中，学生循着教师的思路考虑问题，没有自己提出问题，课堂活动止于教师问、学生答，在今后的教学中应当注意培养学生发现问题的能力，给学生创造提出问题的机会和时间，培养其创新能力。

日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”这与Freudenthal的教育理念相契合，是我们进行教学设计与实施教学的基本理念，希望学生能从课堂中切身感受到“冰冷的”定义定理之下藏着的“火热的”思考，将数学作为思维的训练工具，培养其发现问题、分析问题、解决问题的能力。另一方面，由于授课对象为师范方向的学生，他们当中的大部分日后将会走上讲台，传道、授业、解惑，因此掌握数学知识的本质与背景、深刻理解其思想与方法就显得更为重要了。endprint