调和级数1/n发散性的证明

段佩

摘要：级数是数与函数的一种重要表示形式，是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛，关于调和级数发散性的各种方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理，其中有些采用了与原证不同的叙述，但比原证更加具体明了。

关键词：调和级数；发散性；部分和；积分法

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）16-0203-02

1 引言

级数是数与函数的一种重要表示形式，是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。而在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。关于调和级数发散性的各种方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理，其中有些采用了与原证不同的叙述，但比原证更加具体明了。

2 调和级数的证明方法

证法一：利用柯西收敛原理证明[1]

证明：令ε■=■，？坌n∈N

由S■-S■=■+■+…+■

>■

=■>■

∴该级数发散

证法二：利用比阶判敛法证明

证明：当P=1时，■n■·■=■n·■=1>0

根据比阶判敛法可知，级数■■发散

证法三：利用反证法证明

证明：假设级数■■收敛，即1+■+■+…+■

+…=S

∵■>■，n∈N

∴S=1+■+■+…+■+…

=1+■+（■+■+■+…）+（■+■+■+…）

≥1+■+2（■+■+■+…）

=1+■+（■+■+■+…）

=■+S

即S≥■+S，矛盾

∴假设不成立，■■发散

证法四：将级数分成两个级数证明

证明：■■分为分母是奇数和偶数的两个级数

■■=■+■+■+■+…+■+…和？摇

■■=1+■+■+■+■+…+■+…

由于1>■>■>■>…>■>…

■2■·a■=■■=■■

而■■=■

∴■2■·a■发散，即■2■·a■=■■=■■发散

同理■■=■+■+■+…+■+…也发散

∴■■发散

证法五：应用级数■a■与■2■·a■有相同的敛散性（a■≥a■≥…≥a■≥…≥0）

证明：取a■=■（n=1，2，…）1>■>■>…>■>0

而级数■2■·a■=■2■·■=■1=+∞发散

故调和级数■■发散

证法六：利用Bertrand判别法证明■■发散

证明：a■=■

r=■（lnn）n（■-1）-1

？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n（■-1）-1

？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n·（■-1）-1

？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n·■-1

=0<1

∴级数■■发散

证法七：证明部分和数列S■的子列S■发散

证明：S■=1+■+■+…+■…

S■=1+■+（■+■）+（■+■+■+■）+…+（■+■+…+■）

>1+■+2×■+4×■+…+2■×■

=1+（■）

=1+■

∴■S■≥■（1+■）=+∞

即■S■=+∞

∴S■发散，从而调和级数■■发散

证法八：积分法证明调和级数■■发散

证明：取f（x）=■，则f（x）在1，+∞内单调递减连续，且f（n）=■

∵■■dx=■■■dx=■lnA=+∞

∴■■发散

3 关于调和级数■■的应用举例

（1）判断级数■■的收敛性。

解：∵正项级数■>■=■，

而■■发散的调和级数

由比较判别法，级数■■发散

（2）用比较判别法判断1+■+■+■+…+■

+…的敛散性。

解：∵u■=■>■

又■■=■■■

调和级数■■是发散的，故■■发散

根据比较判别法■■=1+■+■+■+…+■+…发散

4 结语

调和级数是判断另外一个级数发散的一种重要工具，该级数的证明方法也精彩纷呈。本文综合了一些证明，也给出了笔者根据有关定理对该级数的证明，有一定的创新意义。

参考文献：

[1]吉米多维奇.数学分析习题集（4）[M].费定晖，周学圣，译.济南：山东科学技术出版社，2005：2-16.endprint