非线性变形手印图像校正研究

王　垒单大国包　清王　雷

（1　中国刑警学院　辽宁　沈阳　110035；2　上海市公安局刑事侦查总队　上海　200083；3　海南省公安厅刑警总队技术处　海南　海口　570203）

非线性变形手印图像校正研究

王垒1单大国1包清2王雷3

（1中国刑警学院辽宁沈阳110035；2上海市公安局刑事侦查总队上海200083；3海南省公安厅刑警总队技术处海南海口570203）

为解决非线性变形手印检材校正的问题，提出基于对应点阵坐标映射的非线性变形手印校正方法。根据非线性变形手纹图像与理想手纹图像对应点阵间一一对应的映射关系，对非线性变形手纹进行校正，为后期的手印比对工作提供前提和基础。

MATLAB非线性几何变换坐标映射对应点阵

现场提取到的手印检材有相当一部分存在几何变形，并且大多数是非线性几何变形，对这些变形手印检材的校正是之后比对和鉴定工作的前提和基础。利用计算机对变形手印进行几何操作（即对变形手印进行校正）是一种无损检材的检验方法。基于图像对应点阵的校正方法适用于包括桶形畸变、枕形畸变、圆柱体畸变等畸变形式产生的变形手印以及其他各类变形检材的校正。几何操作通过以一种约束的方式重新排列像素而改变一幅图像的几何布局。换言之，几何操作不是去改变图像像素的强度值，而是改变图像中感兴趣目标或者代表特征的像素组之间的相对位置关系。

1　一般化的线性几何操作

对一副图像的几何操作从数学上可以描述为通过调整输入图像像素的坐标使其以一定规律映射到输出图像对应坐标的过程，即：

式中，g(x′,y′)为输出图像（校正后图像），f(x,y)为输入图像（畸变图像），T为映射函数，映射函数为一个任意二维函数，并且常被指定为两个分离的函数并且一个对应一维，即：

式中，Tx、Ty为x、y的多项式。当Tx、Ty是x、y的线性组合时，即：

或表示成矩阵形式，即：

式中，ai、bi（i=0,1,2）为权重系数，上述这种变换就被称为仿射变换（或仿射映射）。仿射变换将直线变换成直线，三角形变换成三角形，矩形变换成平行四边形，平行线仍然平行且直线上点与点之间的间距比例保持不变，平移、缩放、旋转和剪切都是仿射变换的特殊形式，都可以以不同的参数表示成上述矩阵形式。利用计算机可以非常方便地实现对产生仿射变形（即线性几何变形）的图像的校正。

2　非线性几何操作

图像的非线性几何操作又可以称作图像的空间扭曲，也常被称为橡皮膜伸张法 （Rubber-Sheet Stretching）。可以将线性几何操作的算法加以扩展以使其具有非线性几何操作的能力，即：

或表示成矩阵形式，即：

式中，ai、bi（i=0,1,2,3,4,5） 为权重系数。对于一般的一阶地址映射，权重系数可以很容易地由式（1）得到，而二阶地址映射在物理上则没有与其相对应的映射。二阶或更高阶的地址映射可以用来补偿图像的空间畸变。所以，对于案发现场提取到的手纹的非线性变形，可以运用二阶地址映射对其进行补偿。

3　运用矩阵运算对非线性变形手纹的校正

3.1校正步骤

运用矩阵运算对非线性变形手纹校正的一般步骤如下：

3.2权重系数

在计算畸变手纹图像与理想手纹图像间映射权重系数时，需要用到矩阵的逆。

3.2.1对于方阵

Ax=b，当且仅当A为方阵且其行列式|A|≠0时，存在唯一解，即：x=A-1b。

3.2.2对于任意复数矩阵

对任意复数矩阵Am×n，若存在复矩阵Gm×n满足：

式中，上标H表示复矩阵的转置共轭，即Hermite矩阵，即复矩阵相对主对角线以复共轭对称，对于实矩阵而言，其转置共轭等于转置。

满足式（3）中部分方程的Gm×n称为Am×n的弱逆，而满足式（3）中全部方程的Gm×n称为Am×n的伪逆（或加号逆，或穆尔 -彭诺斯逆 （Moore-Penrose pseudoinverse）），且只有唯一的一个，记为A+。

3.3对应点阵

畸变图像与理想图像的栅格具有相同的行数与列数：10行10列，并具有相同个数的对应点：81个（选择栅格的交叉点为对应点阵），畸变图像的对应点阵能够反映图像畸变规律，对于实验所用图像，其对应点阵的坐标可以表示为：

对于理想图像，其对应点阵坐标可以表示为：

式中，θ为实验图像在圆柱体上所占空间在圆柱体横截面所对应的角度；m和n分别为归一化后图像矩阵的行数和列数；（x，y）分别为将原点移至图像对称中心后的坐标值。

3.4实验

实验对象为一枚附着在直径为40mm的圆柱外壁上的指纹检材，对称中心位于图像中心，检材如图1所示，可以看出该指纹存在明显的圆柱形畸变。

由于已知该圆柱体直径，所以可以容易地求得畸变图像与理想图像间的映射关系并生成栅格图像（如图2所示）以方便观察对应点（这里选择栅格的交叉点作为对应点），实际提取到的非线性畸变手纹图像一般不是方阵，因此，在计算时需要计算矩阵A的伪逆A+。

图1　圆柱体外壁上畸变指纹图像

图2　加入栅格后的畸变图像

图3　校正结果

通过观察可以发现，校正后的图像（图3）中，指纹图像所在的像素区域获得了比较理想的校正效果，接近于理想图像，即每个栅格间纵向长度之比接近于1。而图像边缘校正不理想的区域中又不包含指纹图像，因此边缘处的校正效果在这里是不需要关心的。边缘处像素位置的偏移是由于实验选取点阵的位置不够靠近边缘造成的，可以通过增加边缘处点阵数量来解决这种问题。

4　运用MATLAB的人机交互函数对非线性空间扭曲手纹的校正

4.1校正步骤

4.2实验

实验对象为一枚由程序生成的桶形畸变掌纹，同样在图中以相同畸变方式生成栅格，以方便观察，如图4所示。

图4　桶形畸变掌纹

实验中，调用MATLAB人机交互函数，在畸变掌纹图像和基准无畸变栅格图像上分别选取对应点，在选取对应点时，程序规定至少选取10个对应点，经实验发现，增加对应点数量能够有效提高校正效果。如图5所示，在人机交互窗口中出现了4个子窗口，分别是畸变图像与基准栅格（每一个栅格的宽高比均为1）的全貌图和位于全貌图选择框中的细节图（可以根据需要放大足够倍数以方便观察）。实验中对两幅图像分别选取了28个对应点，在选取时，需要保证每在畸变图像上选择一个对应点就在理想图像上选择一个对应点。在选择完所有对应点之后便可将对应点的坐标数据导入到MATLAB的工作空间中以备校正时使用。

图5　MATLAB人机交互界面

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校正过程中，调用所选取的两组对应点，将畸变图像映射为理想图像，校正结果如图所示，图6和图7分别为选取12个和28个对应点时的校正效果。

图6　12个对应点校正结果图

图7　28个对应点校正结果

可以发现，校正后的图像有了明显的改善，即栅格宽高比接近于1。并发现当选取28个对应点进行校正时的效果要比选取12个对应点时的好，因此可以推测在选取更多对应点之后，校正的效果会更加理想，但在选取对应点时应保证对应点的均匀分布，以获得合适的权重系数，以避免产生不期望的结果。

5　结论

通过上述实验可见，利用矩阵运算以及利用MATLAB人机交互的方法均能够对由非线性变形产生的畸变手纹进行有效校正，为后续的比对检验鉴定工作提供良好的前提基础，并且这两种方法不仅仅局限于对非线性变形手纹的校正，还可以扩展到更大范围以对其他畸变图像进行校正。

（责任编辑：孟凡骞）

TP391.41

A

2095-7939(2015)01-0063-04

2014-10-23

王垒(1989-)，男，上海人，中国刑警学院声像资料检验技术系研究生，主要从事图像取证研究。