郭炜
对于数形结合思想,我国著名数学家华罗庚曾经这样描述:“数与形本相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少知觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事非。几何代数统一体,永远联系莫分离。”数形结合思想作为高中阶段七大数学思想之一,每年都是高考的热点。在平时练习过程中,我们应该主要把握以下三个要点:
一、理清限制约束条件是前提
在使用数形结合解题前,应该先注意理清题目中的限制约束条件,限定范围,才可准确地解决问题。
例1.设集合A={x|y= +m},B={x|x+y- =0},若A∩B=?覫,求m的范围。
解:y= +m得(y-m)2+x2=1(y≥m)
其几何意义为以(0,m)为圆心,1为半径的上半圆。
A∩B=?覫知直线与半圆无公共点。
在x+y- =0中,令x=-1,得y= 。
∴m> ,无公共点。
又由点(0,m)到直线距离d= >1
得到m> + (舍)或m< -
综上可知m< - 或m> 。
在解答本题的过程中需要注意y的范围,A集合所表示的图形并非整个完整的圆,而只是圆的上半部分,如果忽略这一点,将得到m> + 或m< - 这一错误答案。
二、掌握图象变换是基础
运用数形结合,需要对图象的平移、翻折等变换非常熟练,才能准确地作出较复杂的函数图象。
例2.函数f(x)=0 x=1lgx-1 x≠1,关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个实数根的充要条件是什么?
解:首先作出f(x)图象,其中涉及较多图象的翻折及平移,其图象是由y=lgx→y=lgx→y=lgx-1→y=lgx-1变化得到,分为四个步骤,先y=lgx沿y轴翻折,再向右平移一个单位,在将x轴下部分图象向上翻折。
当f(x)>0时,相应的x有四个解;当f(x)=0时,x有三个解;当f(x)<0时,x无解。故欲使方程有7个根,只需关于f(x)的二次方程有一个正根,一个零根,
即c=0,此时另一根f(x)=-b>0,
所以,此方程有7个根的充要条件为:c=0且b<0。
本题主要考查函数图象的各种平移及翻折,“左加右减,上加下减”的运用及f(x)和f(x)的图象变化。
三、熟悉函数性质的关键
运用数形结合思想解题,还要求熟练掌握函数的性质(周期性、对称性等)。
例3.x1为方程2x+2x=5的根,x2为方程2x+2log2(x-1)=5的解,求x1+x2。
解:2x+2x=5可变形为2x-1= -x,
2x+2log2(x-1)=5可变形为log2(x-1)= -x,
由反函数的对称性质及平移可知,y=2x-1和y=log2(x-1)图象关于直线y=x-1对称。
设两交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),易知A、B两点关于直线y=x-1对称,故有x2=y1+1y2=x1-1且A点在直线y= -x上,即y2= -x2=x1-1移项得到x2+x1=
本题对考查函数平移及对称等关系要求较高,要求学生深刻理解互为反函数的两个函数平移后对称轴的变化情况,以及掌握两点关于某直线对称时的坐标关系,即对函数的各种性质非常
熟悉。
总之,当我们在解题时时刻注意以上三个要点,在运用数形结合思想解题时就会得心应手;而一旦忽视这些问题,就往往会出现一些“会而不对,对而不全”的问题,事后追悔莫及。
编辑 张珍珍