陈海彦
解数学题时,一般先经过思考、类比、联想应用所学的数学概念、定理公式等为依据是提高分析问题、解决问题的能力,加快解决速度的重要保障。下面介绍一些解题的技巧和方法。
一、由大到小
在解数学题时,范围(指定义域、值域、知识点等)越小,越便于寻找解题途径。
例1.求函数y= + + + 的值域
用x取值范围太大,难于考虑,若退到只考虑x在某个象限时,难则变易,如当x属第一象限角时,可得y=4;当x属第二象限角时, =1, =1,…,故y=-2.
因此解得y∈{4,0,-2}
二、由生到熟
当我们遇到以前没有接触过的陌生题时,要设法把它转化成曾经解过的或熟悉的题目,利用已有知识、经验顺利解出原题。
例2.已知f(x)= + ,则f(x)的最小值
( )
A.2 B. C.0 D. +
解:f(x)= + = +
则此题转化为(x,0)到(-1,-1)和到(2,-1)距离之和的最小值,易得答案为 。
三、由特殊到一般
例3.(2012年高考江西卷理7)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为CD的中点,则 ( )
A.2 B.4 C.5 D.10
解:取一等腰直角三角形ABC,∠C=90°,如上图所示:再取AC=BC=2,则AB=2 ,AD=CD= ,PC= ,PA=PB= = = ,所以 =10
四、由反到正
当一道题从正面入手复杂繁琐,或找不到解题的依据时,要随时改变思维的方向,从结论的反面进行思考,化难为易地解出原题。
例4.从正方体的6个面中选出3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )
解:此题正面思考困难,但可这样考虑:从6个面中任选3个面共有C36种,但正方体的每个顶点都有3个面相邻不符合题意,此时问题转化为C36-8=12种。
例5.若关于x的方程4cosx-cos2x+m-3=0恒有实数解,则实数m的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.[-1,8] C.[0,5] D.[0,8]
解:将方程问题转化为二次函数的值域问题求解,
即方程可化为m=cos2x-4cosx+3=(cos2x-2)2-1,由cosx∈[-1,1],得m=[0,8],故选D。
五、由整体到部分
当按常规思路进行局部处理难以奏效或计算繁冗的题目时,要适当调整视角,把问题作为一个有机整体,从整体入手,对整体结构进行全面、深刻的分析和改造,从整体特征的研究中,找到解决问题的途径和办法。
例6.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数,且
f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 解:由f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0知 ′<0,则可把 看成一个整体,可令h(x)= ,所以h(x)在x∈(a,b)上单调递减,则h(a)>h(x)>h(b),即f(x)g(b)>f(b)g(x),故选C。 因此,在解数学题时,如果常规的思维思考受挫时,我们换一个角度思考,可能会透云见日、豁然开朗。 编辑 谢尾合