施贵军
古诗云“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”说的是庐山从不同视角观看,所看到的景象不一样。这个道理其实对于数学也是适用的。面对同一道数学题,我们可以选取不同的视角去思考、分析,从而采用不同的方法来解决。下面以一道三角函数题为例,给出九种解法,供大家参考。
题目:若cosα+2sinα=- ,求tanα
解法一:利用三角函数“定义”
设角α终边上一点的坐标为(x,y),则cosα= ,sinα= ,tanα=
其中r2=x2+y2,由cosα+2sinα=- 得 + =-
即x+2y=- r,平方得x2+4xy+4y2=5r2,将r2=x2+y2代入左
式得:
4x2-4xy+y2=0,即(2x-y)2=0
所以2x=y,tanα= =2
解法二:利用“方程思想”
由cosα+2sinα=- 得cosα=- -2sinα,
又因为sin2α+cos2α=1,将cosα=- -2sinα代入方程得:
sin2α+(- -2sinα)2=1,即5sin2α+4 sinα+4=0
∴( sinα+2)2=0解得sinα=- ,cosα=-
故tanα= =2
解法三:利用“1”构造正、余弦
由cosα+2sinα=- 平方得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5
即cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5(sin2α+cos2α)
化简得sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0
所以(sinα-2cosα)2=0,即sinα=2cosα
则tanα= =2
解法四:利用“1”构造正切
由解法三得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,
所以 =5(cosα≠0),分子分母同时除以cos2α得 =5,所以tan2α-4tanα+4=0
(tanα-2)2=0,故tanα=2
解法五:利用“弦”化“切”
由cosα+2sinα=- 得 =-
所以1+2tanα=- ,两边平方得(1+2tanα)2= ,
即(1+2tanα)2=
化简得tan2α-4tanα+4=0
所以tanα=2
解法六:利用公式“1+tan2α= ”
由解法五得(1+2tanα)2= 代入公式1+tan2α= 得
(1+2tanα)2=5(1+tan2α)
所以tan2α-4tanα+4=0,则tanα=2
解法七:利用“辅助角φ”
由cosα+2sinα=- 得 ( cosα+ sinα)=-
令cosφ= ,sin=
则sin(α+φ)=-1,因此α+φ=2kπ- (k∈Z)
α=2kπ- -φ
tanα=tan(2kπ- -φ)=-tan( +φ)= = =2
评注:以上几种解法从不同的角度分析得到了tanα的值。虽然“道不同”,但结果相同,而且都是一些常规解法,比较容易想到。唯一的遗憾就是运算量比较大。请欣赏下面两种解法:
解法八:利用“导数”
令f(x)=2sinx+cosx,因为f(x)=2sinx+cosx= sin(x+θ)
由cosα+2sinα=- 知函数f(x)=2sinx+cosx在x=a处取得最小值(也是极小值)。
所以f ′(a)=0
因为f ′(x)=2cosx-sinx,所以f ′(a)=2cosα-sinα=0
即tanα= =2
评注:通过观察cosα+2sinα=- 的特征,我们发现- 恰好是函数f(x)=2sinx+cosx的最小值,即x=a是函数f(x)=2sinx+cosx的一个极值点,从而可以利用导数求解,而且几乎可以口算。方法独特,可谓别出心裁。
解法九:利用“向量的数量积”
设 =(2,1), =(sinα,cosα),两个向量的夹角为θ
所以 · =2sinα+cosα=-
又 · = cosθ= cosθ
即 cosθ=- ,所以cosθ=-1,θ=π
因此 ∥
则2cosα-sinα=0
所以tanα= =2
评注:观察等式cosα+2sinα=- ,左边是向量 =(2,1), =(sinα,cosα)的数量积,根据数量积的定义发现两个向量是共线向量,从而利用向量共线的坐标表示可快速求出α的正切值。因此,将三角函数与向量相结合又为我们解题开辟了一条新的途径。
所以,在解题过程中,多思,多想,多练。就会有一些奇思妙解,就会有一些出其不意的想法。
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