一道三角函数题的九种解法

2015-12-07 06:24施贵军
新课程·中学 2015年10期
关键词:共线化简导数

施贵军

古诗云“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”说的是庐山从不同视角观看,所看到的景象不一样。这个道理其实对于数学也是适用的。面对同一道数学题,我们可以选取不同的视角去思考、分析,从而采用不同的方法来解决。下面以一道三角函数题为例,给出九种解法,供大家参考。

题目:若cosα+2sinα=- ,求tanα

解法一:利用三角函数“定义”

设角α终边上一点的坐标为(x,y),则cosα= ,sinα= ,tanα=

其中r2=x2+y2,由cosα+2sinα=- 得 + =-

即x+2y=- r,平方得x2+4xy+4y2=5r2,将r2=x2+y2代入左

式得:

4x2-4xy+y2=0,即(2x-y)2=0

所以2x=y,tanα= =2

解法二:利用“方程思想”

由cosα+2sinα=- 得cosα=- -2sinα,

又因为sin2α+cos2α=1,将cosα=- -2sinα代入方程得:

sin2α+(- -2sinα)2=1,即5sin2α+4 sinα+4=0

∴( sinα+2)2=0解得sinα=- ,cosα=-

故tanα= =2

解法三:利用“1”构造正、余弦

由cosα+2sinα=- 平方得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5

即cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5(sin2α+cos2α)

化简得sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0

所以(sinα-2cosα)2=0,即sinα=2cosα

则tanα= =2

解法四:利用“1”构造正切

由解法三得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,

所以 =5(cosα≠0),分子分母同时除以cos2α得 =5,所以tan2α-4tanα+4=0

(tanα-2)2=0,故tanα=2

解法五:利用“弦”化“切”

由cosα+2sinα=- 得 =-

所以1+2tanα=- ,两边平方得(1+2tanα)2= ,

即(1+2tanα)2=

化简得tan2α-4tanα+4=0

所以tanα=2

解法六:利用公式“1+tan2α= ”

由解法五得(1+2tanα)2= 代入公式1+tan2α= 得

(1+2tanα)2=5(1+tan2α)

所以tan2α-4tanα+4=0,则tanα=2

解法七:利用“辅助角φ”

由cosα+2sinα=- 得 ( cosα+ sinα)=-

令cosφ= ,sin=

则sin(α+φ)=-1,因此α+φ=2kπ- (k∈Z)

α=2kπ- -φ

tanα=tan(2kπ- -φ)=-tan( +φ)= = =2

评注:以上几种解法从不同的角度分析得到了tanα的值。虽然“道不同”,但结果相同,而且都是一些常规解法,比较容易想到。唯一的遗憾就是运算量比较大。请欣赏下面两种解法:

解法八:利用“导数”

令f(x)=2sinx+cosx,因为f(x)=2sinx+cosx= sin(x+θ)

由cosα+2sinα=- 知函数f(x)=2sinx+cosx在x=a处取得最小值(也是极小值)。

所以f ′(a)=0

因为f ′(x)=2cosx-sinx,所以f ′(a)=2cosα-sinα=0

即tanα= =2

评注:通过观察cosα+2sinα=- 的特征,我们发现- 恰好是函数f(x)=2sinx+cosx的最小值,即x=a是函数f(x)=2sinx+cosx的一个极值点,从而可以利用导数求解,而且几乎可以口算。方法独特,可谓别出心裁。

解法九:利用“向量的数量积”

设 =(2,1), =(sinα,cosα),两个向量的夹角为θ

所以 · =2sinα+cosα=-

又 · = cosθ= cosθ

即 cosθ=- ,所以cosθ=-1,θ=π

因此 ∥

则2cosα-sinα=0

所以tanα= =2

评注:观察等式cosα+2sinα=- ,左边是向量 =(2,1), =(sinα,cosα)的数量积,根据数量积的定义发现两个向量是共线向量,从而利用向量共线的坐标表示可快速求出α的正切值。因此,将三角函数与向量相结合又为我们解题开辟了一条新的途径。

所以,在解题过程中,多思,多想,多练。就会有一些奇思妙解,就会有一些出其不意的想法。

编辑 谢尾合

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