一道无理函数值域问题的变式探究

2015-12-07 01:07邱明武
新课程·中学 2015年10期
关键词:结合法值域道题

邱明武

题目 函数y=x+ 的值域为 .

函数值域的求法是高中函数教学中的重点,同时也是难点,其常用方法有:观察法、反函数法、分离常数法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、单调性法、求导法、函数的有界性法、数形结合法等等.这道题主要考查无理函数值域的求法,而无理函数值域的常用求法有:单调性法、反函数法、配方法、换元法、求导法、数形结合法、构造解析几何模型法等。首先来探究一下本题的解决方法,如下:

解法1(单调性法)

因为x∈(-∞,1]∪[2,+∞),所以当x∈[2,+∞)时,函数y=x+ 是单调递增的,此时当x=2时,y有最小值2,但无最大值,因此y∈[2,+∞);当x∈(-∞,1]时,函数y=x+ = +(x- )+ = + 是单调递减的,此时当x=1时,y有最小值1,但y< ,因此y∈[1, ),所以该函数的值域为y∈[1, )∪[2,+∞).

解法2(反函数法)

由于y=x+ (x≤1或x≥2),因此y-x= ,两边平方整理得:x= (y≠ ),令 ≥2或 ≤1得y> 或y< ,但是尤其要考虑的也是很容易忽略的地方:y-x= ≥0,即y-x=y- = ≥0,解得:y≥2或1≤y< ,所以该函数的值域为y∈[1, )∪[2,+∞).

这道题的两种解法平时教学多次渗透,学生也知道求值域的一些基本方法,但就是用起来达不到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步.观察这道题的结构,不难联想到这道题的变式题又如何求解?下面就让我们来探究一下这道题的变式求解吧.

变式1 求函数y=x-2+ (-1≤x≤2)的值域.

解(单调性法):∵函数f(x)=x-2,g(x)= 在区间[-1,2]上都是单调递增的.

∴函数y=x-2+ 在区间[-1,2]上也是单调递增的.因此当x=-1时取最小值-3- ,当x=2时取最大值 ,∴该函数的值域为y∈[-3- , ].

评注 这道题虽含根式看似很复杂,但若分析其单调性来求值域就很简单了.因此对某些求函数的值域或最值问题,可以从函数的单调性角度来考虑.

变式2 求函数y= + 的最值.

解(配方法):函数y= + ≥1+1=2,当且仅当x=2时有等式成立,所以函数有最小值2,无最大值.

评注 一般地,形如函数y= + (x∈R)当a>0,b>0时在x=m处最小值;当a<0,b<0时在x=m处最大值.若定义域不是R可以根据函数的单调性来求最值.

变式3 求函数y= + 的最值.

解(配方与单调性结合法):易求函数的定义域:x∈(-∞,0]∪[1,+∞),令f(x)=2x2-3x+2=2(x- )2+ ,g(x)=x2-x=(x- )2- ,则当x≥ 时,f(x)递增,x≥ 时,g(x)递增,所以当x≥1时, 与 都递增,其和也递增,故此时y≥ + =1.类似地当x≤0时, 与 都递减,其和也递减,故此时y≥ + = ,所以当x=1时,函数有最小值1,无最大值.

评注 一般的,形如函数y= + (a>0,α>β),当- ∈[α,β]时,可以用本例题的方法求函数的最值.

变式4 求函数y= + 的值域.

解(构造解析几何模型法):函数y= + 的几何意义是表示动点P(x,1)到定点A(-1,0),B(1,0)的距离之和.易求点B(1,0)关于直线y=1对称点B′(1,2).当A,P,B′三点共线时,距离最小且为AB′=2 ,故y≥2 ,即值域为:y∈[2 ,+∞).

评注 此题若从函数的单调性角度来考虑,很容易得到当x∈(-∞,-1]时,函数单调递减;当x∈(1,+∞]时,函数单调递增,但是当x∈(-1,1)时不好判断.若此题从几何意义的角度来考虑就很简单了.

编辑 谢尾合

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