基于有限元分析的复合阻尼覆盖层优化设计

陈 炳，何世平，李思静

(1.海军工程大学 机械工程系，湖北 武汉430033;2.中国人民解放军78138 部队，四川 成都610000)

0 引 言

铺设阻尼覆盖层是减小结构共振的一项重要减振降噪措施。它铺设在待减振的结构表面，其主要作用原理是将振动能量不可逆地转变为热能耗散掉。传统的阻尼结构主要分为自由阻尼结构和约束阻尼结构，为了提高传统阻尼结构的综合性能，人们提出在自由阻尼结构或者约束阻尼结构中的粘弹性层和基层中插入垫高层，即带垫高层的复合阻尼结构。这种结构的主要特点在于其铺设的覆盖层的质量较轻且阻尼性能良好，其在航空航天工程中得到了广泛应用，例如在美国空军运输机C－5A的前机身承压表面采用了带垫高层复合阻尼结构［1］，后来F－15 战斗机的机翼上也应用了这种带垫高层的复合阻尼结构［2］。

许多学者对带垫高层复合阻尼结构进行了理论研究［3－6］。曾海泉等［3］分析了当垫高层分别为硬质和软质泡沫塑料时，复合阻尼结构不同的阻尼特性。Yellin 等［4］利用传递函数法研究了带垫高层约束阻尼结构的频响响应。Peter［5］从实验方面研究了微孔泡沫材料分别作为粘弹性层和垫高层时复合阻尼结构的振动特性。Chaudry［6］对垫高层进行改进，研究了带槽形垫高层复合阻尼结构的频率响应。以上文献主要研究了带垫高层复合阻尼结构的频率响应特性以及粘弹性层和垫高层参数对结构振动特性的影响。对于以硬质泡沫塑料为垫高层的自由阻尼结构，复合阻尼覆盖层的面密度、总厚度、损耗因子主要由3个因素影响:硬质泡沫塑料衬垫的孔隙率，厚度以及粘弹性层的厚度。如何使该复合阻尼覆盖层拥有面密度轻，厚度小且阻尼性能最佳的综合特点，则需要对该复合阻尼结构进行优化设计。

本文基于模态应变能法利用商业软件Ansys 求解带硬质聚氨酯泡沫塑料衬垫的自由阻尼结构的等效模态损耗因子，然后以粘弹性层厚度，泡沫塑料的厚度，泡沫塑料的孔隙率为设计变量，以该复合结构的一阶弯曲模态损耗因子的倒数为目标函数，在满足一定的工程要求条件下，对该结构进行优化设计，使得阻尼覆盖层的综合性能更优。

1 复合阻尼覆盖层参数化建模

在结构优化设计中，分析文件生成是Ansys优化设计过程中的关键部分，Ansys 程序运用分析文件构造循环文件，进行循环分析。而在分析文件中，模型的建立必须参数化，结果也必须用参数来提取。下面分别对各层参变量以及复合阻尼覆盖层总的参变量进行分析。

比较理想的垫高层材料是具有球形空泡结构的硬泡沫塑料，也可以是金属或者高分子材料制成蜂窝状结构［7］。硬质泡沫塑料具有绝热效果好、重量轻、比强度大、施工方便等优良特性，同时还具有隔音、防震、电绝缘、耐热、耐寒、耐溶剂等特点。所以垫高层材料采用具有球形空泡结构的闭孔硬质聚氨酯泡沫塑料，卢子兴等人对这种闭孔的具有球形空泡结构的硬质聚氨酯泡沫塑料进行力学性能方面的研究，假设所有的泡沫塑料胞体为球形，并具有相同的尺寸，胞体随机分布，将泡沫塑料看作3部分组成，中心是球形空腔，空腔外层是基体材料，基体材料的外层是等效均匀介质，基于这3 部分构造一个模拟泡沫塑料局部区域的模型，空腔和基体球壳作为泡沫塑料的胞体，其等效性质应与外层的等效均匀介质相同。根据其研究结果，假设基体材料不可压缩，则泡沫塑料杨氏模量，剪切模量的理论预测公式为［8－9］:

等效杨氏模量:

等效剪切模量:

其中:

硬质泡沫塑料泡沫塑料的等效密度:

硬质泡沫塑料的面密度:

H2Em和Gm分别为基体的弹性模量和剪切模量;f为闭孔聚氨酯泡沫塑料的孔隙率;H为硬质聚氨酯泡沫塑料的厚度。由式(1)～式(4)可知，当基体材料、孔径大小以及孔径形状确定以后，聚氨酯泡沫塑料的等效杨氏模量、等效剪切模量、等效密度是孔隙率的函数，而面密度是孔隙率、层厚度的函数。

粘弹性层的材料确定以后，其杨氏模量、剪切模量、密度为定值，以厚度参数为设计参数，其面密度为:

其中，ρv为粘弹材料的密度;H3为粘弹性层的厚度。

复合阻尼覆盖层中参变量主要包括总厚度和总的面密度，由几何关系可知，复合阻尼覆盖层的总厚度为:

复合阻尼覆盖层的面密度为:

粘弹性材料、泡沫塑料的基体材料确定以后，粘弹性层的材料参数均为常数，式(1)～式(7)中的变量主要与粘弹性层的厚度、泡沫塑料的孔隙率以及厚度有关，对于复合阻尼结构中常量和变量均可以通过APDL 语言进行定义。

2 模态应变能法的有限元分析

对粘弹性动力学的基本方程进行动力学问题求解十分困难，往往采用数值解法，主要是有限元法，通过对位移向量进行分单元离散插值，再由变分原理导出相应的运动方程。

对于阻尼复合结构［10］，其总的应变能为:

其中:K1为基层的刚度矩阵;K2为垫高层的刚度矩阵;K3为阻尼层的刚度矩阵。

复合阻尼结构的动能为:

阻尼层的耗能为:

若不考虑能量损耗，根据变分原理得:

将式(14)和式(15)代入式(11)中得动力学方程，解方程得特征值ω和振型{δ}。

复合结构的等效模态损耗因子为:

将式(8)和式(10)代入，可得r 阶等效模态损耗因子:

其中，K为总的刚度矩阵;{δ}为总体节点位移列阵;M为总质量矩阵。由式(13)可知，等效模态损耗因子主要与各层的刚度以及各层的变形有关。

3 优化设计

3.1 优化模型

优化设计的基本原理是通过构建优化的数学模型，运用某种计算方法，在一定约束条件下进行计算使得目标函数达到极值。对于复合阻尼覆盖层而言，其数学模型可以表示为［11］:

其中，H2，H3，f为设计变量，优化结果的取得是通过改变设计变量的数值实现的;约束条件m，H为状态变量，其是约束设计的数值，是设计变量的函数;只有符合状态变量要求的设计才是合理的设计;T(x)为目标函数，其是要尽量减小的数值，其必须是设计变量的函数，改变设计变量的数值必然改变目标函数的数值，其用来评价设计方案的优劣，优化问题即为求目标函数的极值。

3.2 优化方法

以Ansys优化模块作为优化平台，利用APDL语言进行参数化建模，并且利用Ansys的零阶方法进行优化求解，该方法中，Ansys 程序用曲线或者曲面拟合来建立目标函数，状态变量和设计变量之间的关系，主要通过用若干设计变量序列计算目标函数或者状态变量，然后通过内部程序拟合，得到结果曲线(或曲面)。在这里通过设计变量序列，，fi(i = 0，1，2，3…n)，可以计算出一系列的目标函数Ti(H2，H3，f)以及状态变量mi(H2，H3，f)，Hi(H2，H3)，然后可以通过拟合得到(H2，H3，f)，(H2，H3，f)，(H2，H3)。然后将约束优化问题通过罚函数法转化成一个无约束化问题。初始值在可行域内，采用内部罚函数法构造一个新的函数:

其中，X(H2)，X(H3)，X(f)均为设计变量的罚函数，主要约束设计变量。F1和F2()是状态变量的罚函数，主要约束状态变量;T0为目标函数的参考值，主要为了实现单位一致，无约束的目标函数G(H2，H3，f，pk)主要随设计变量和曲面响应参数pk变化而变化。每次设计迭代中，连续无约束化最小值技术(SUMT)用于求解式(18)的最小值，k 是零阶问题求解中子迭代的次数，为了得到更精确的结果，曲面响应参数值会随k 变大不断增大。即p1＜p2＜p3＜p4…然后每次迭代得到一个最小值，然后进行收敛检查，判断其是否为合理的设计。

4 优化设计算例

4.1 问题描述

基层为H1= 8 mm的钢板，其杨氏模量E1=2.06 ×1011N/m2，密度为ρ1= 7.8 ×103kg/m3粘弹性层材料的杨氏模量E2=5 ×109N/m2，密度为ρ2=1 570 kg/m3，其材料损耗因子为β = 0.4，闭孔硬质聚氨酯泡沫塑料基体材料的弹性模量为Em=2.433 ×1011N/m2，剪切模量为Gm=8.11 ×108N/m2，基体材料的密度为ρm=1 200 kg/m3，取聚氨酯泡沫塑料垫高层的孔隙率初始值为f = 0.375，由式(5)可知，垫高层的初始等效密度ρ2=750 kg/m3，最下层是基层，基层上面铺设垫高层，垫高层上面铺设粘弹性层。复合阻尼结构示意图如图1所示。

图1 带聚氨酯泡沫塑料衬垫的自由阻尼结构Fig.1 Unconstrained damping structure with stand-off layer

其中H1为基层厚度，H2为垫高层厚度，H3为粘弹性层厚度。利用Ansys 对复合阻尼结构进行建模，采用PLANE183 单元，其是一个高阶2 维8 节点单元，每个单元有2个自由度。再进行网格划分，然后进行无阻尼模态分析，利用应变能与材料损耗因子之间的关系，计算出等效模态损耗因子，然后在优化模块中对分析文件进行优化分析。设计要求垫高层厚度，粘弹性厚度均小于0.016 m，阻尼覆盖层总厚度即粘弹性层厚度与垫高层厚度之和不大于0.024 m，面质量小于25 kg/m2。

根据上面要求描述，该问题优化设计的数学模型为:

4.2 优化结果

参数化建立带聚氨酯泡沫塑料阻尼覆盖层有限元模型后，利用Block Lanczos法进行模态分析，利用模态应变能法计算出其第一阶弯曲模态的损耗因子，定义参数化的设计变量、状态变量和目标函数，最后进行迭代优化计算，经过8步迭代计算以后收敛得到最优解，优化前后粘弹性层的厚度、垫高层的厚度以及孔隙率，等效密度值如表1所示。

表1 优化前后粘弹性层和垫高层参数值Tab.1 Parameter values of the viscoelastic layer and the stand-off layer before and after optimization

由表1 可知，优化后，硬质泡沫塑料衬垫的厚度降低，可以使得垫高层的抗弯刚度减小，也可以减小粘弹性层对垫高层剪力矩。孔隙率增大，等效密度变小，可以减轻垫高层的面密度，而粘弹性层厚度增加，可提高粘弹性层的耗能。

下面分别计算优化前后阻尼覆盖层总面密度、总厚度以及损耗因子如表2所示。

表2 优化前后复合阻尼覆盖层参数值Tab.2 Composite damping tile parameter values before and after optimization

由表2 可知，优化后的复合阻尼覆盖层的面密度大小接近，而总厚度变小，复合阻尼结构的损耗因子增大，这说明通过优化后，复合阻尼覆盖层的综合性能更好。

4 结 语

1)当粘弹性层材料参数，泡沫塑料基体材料参数确定以后，需要通过合理设计粘弹性层厚度，垫高层的孔隙率以及厚度使得复合阻尼结构的综合性能最佳。

2)在Ansys 动力学分析模块和优化模块下，对复合阻尼结构进行参数化建模，在动力学计算的基础上进行优化设计，使得复合阻尼结构的各层参数得到合理设计，从而提高该复合阻尼结构的综合性能。这对带硬质泡沫塑料衬垫的自由阻尼结构设计具有十分重要意义。

［1］HALL K，RATHBUN E，PAYNE B，et al.C－5 forward fuselage/wing trailing edge vibration cracking-analysis and recommendation lockheed-georgia.Company.ContrF41608－88－D－1818.Report LG89ER0007 ，1989，2.

［2］LERAEA V J，PARIN M，PACIA A，et al.Add-on damping treatment for life extension of the F－15 upper-outer wing skin.USAF－WL－TM－91－307，WPAFB OH，1991.

［3］曾海泉，罗跃刚，等.高分子阻尼材料及阻尼结构［J］.特种橡胶制品，2001，22(5):17－25.ZENG Hai-quan，LUO Yue-gang，et al.Progress in ploymer damping material and structure ［J］.Special Rubber Products，2001，22(5):17－20.

［4］YELLIN J M，SHEN I Y，REINHALL P G，et al.An analytical and experimental analysis for a one-dimensional passive stand－off layer damping treatment［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2000，122:440－447.

［5］PETER Y H，REINHALL P G，SHEN L Y，et al.Use of microcellular foam materials in constrained layer damping treatments［J］.Cellular Polymers，2001，20(2).

［6］ATIF H C.Passive stand-off layer damping treatment:theory and experiments ［D］.Maryland:University of Maryland，2006.

［7］戴德沛.阻尼减振降噪技术［M］.西安:西安交通大学出版社，1983:88－133.

［8］卢子兴，寇长河.泡沫塑料拉伸力学性能的研究［J］.北京航空航天大学学报，1998，24(6):646－649.LU Zi-xing，KOU Chang-he.Investigation into tensile mechanical properties of PUR foam plastic［J］.Journal of Beijing Univeristiy of Aeronautics and Astronautics，1998，24(6):646－649.

［9］卢子兴，寇长河.聚氨酯泡沫塑料剪切力学性能的研究［J］.北京航空航天大学学报，1998，24(6):646－649.LU Zi-xing，KOU Chang-he.Investigation into shear mechanical properties of PUR foam plastics［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，1998，24(6):646－649.

［10］张敬莹.粘弹性夹层板振动特性的有限元分析［D］.大连:大连理工大学.

［11］陈学前，杜强.运用有限元分析的阻尼板优化设计［J］.振动、测试与诊断，2007，27(3):236－238.CHEN Xue-qian，DU Qiang，et al.Optimization design of damping disk based on finite element analysis［J］.Journal of Vibration ，Measurement＆Diagnosis，2007，27(3):236－238.