《平面向量、三角函数》命题规律与考查热点

车树勤��

高考命题分析

高考中，三角函数主要考查同学们的运算能力、灵活运用能力.在客观题中，突出考查基本公式所涉及的运算、三角函数的图象基本性质，尤其是对三角恒等变换较为注重.解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算.

平面向量的考查侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算.以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角函数等知识点的综合是值得注意的方向.现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给同学们带来帮助和启示.

高考命题特点

高考涉及三角函数与平面向量的考题要么全是有关三角函数的，要么全是向量的，或者是三角函数与向量结合的，其特点如下：

（1）考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域（定义域、值域）；四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）；简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识.

（2）考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加.大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角相结合.

（3）考应用，融入三角形之中：既能考查解三角的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等.

（4）考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题.

高考动向透视

考点1 三角函数的概念及同角三角函数的基本关系

高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等.

例1 若sin（π6-α）=13，则cos（2π3+2α）=.

解：cos（2π3+2α）=cos[π-2（π6-α）]

=-cos2（π6-α）=-[1-2sin2（π6-α）]

=-1+2sin2（π6-α）=-79.

极速突击：条件角π6-α与结论角2π3+2α之间存在这样的关系：2（π6-α）+（2π3+2α）=π，因此可通过诱导公式进行转化，求条件角的三角函数值.寻找条件角与结论角间的关系是三角化简求值中常见题型，需要仔细分析，看它们间是否存在互余、互补等关系，通过配凑，转化求解.

考点2 三角函数的图象及其性质

三角函数的图象与性质主要包括：正弦（型）函数、余弦（型）函数、正切（型）函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等内容.在近年高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下.对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题.有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：①化成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；②化成二次函数形式后利用配方法求其最值.

例2 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（2π3，-3）.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）+f（x+π4）的最大值及对应x的值.

解：（1）由2πω=π得ω=2.

由最低点为M（2π3，-3），得A=3.

且2×2π3+φ=3π2+2kπ（k∈Z），0<φ<π2，

∴φ=π6，

∴f（x）=3sin（2x+π6）.

（2）y=f（x）+f（x+π4）

=3sin（2x+π6）+3sin[2（x+π4）+π6]

=3sin（2x+π6）+3cos（2x+π6）

=32sin（2x+512π），

∴ymax=32.此时，2x+5π12=2kπ+π2，x=kπ+π24，k∈Z.

极速突击：求函数解析式就是求三个参数A，ω，φ，通过振幅，周期，图象过一个定点三步即可完成.关于最值问题一般要先求函数解析式，再求函数的最值，三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象在其对称轴处取到最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值点之间横坐标差的绝对值为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心之间横坐标差的绝对值也是函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的x轴的交点之间横坐标差的绝对值为其函数的14个周期.

考点3 求函数的单调区间

高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题.对于形如y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ）），Aω≠0的单调区间的求法是：先考虑A，ω的符号，再将ωx+φ视为一个整体，利用y=sinx的单调区间，整体运算，解出x的范围即可.

例3 函数y=3sin（π3-x2）的单调递增区间为.

解：设μ=π3-x2，则y=3sinμ，

当2kπ+π2≤μ≤2kπ+3π2时，y=3sinμ随x增大在减小，

又∵μ=π3-x2随x增大在减小，

∴y=3sin（π3-x2）当2kπ+π2≤π3-x2≤2kπ+3π2，

即-4kπ-7π3≤x≤-4kπ-π3时，y随x增大而增大.

∴y=3sin（π3-x2）的单调递增区间为[-4kπ-7π3，-4kπ-π3]（k∈Z）.

极速突击：将π3-x2看作一个变量μ，求出μ的范围，结合μ=π3-x2是单调减函数，由复合函数的单调性可求得函数的单调区间.也可以提出负号变成y=-3sin（x2-π3），y=3sin（x2-π3）的单调递减区间即为y=3sin（π3-x2）的单调递增区间.本题一定要注意变量x的系数是负数，所以要把π3-x2放在μ的单调递减区间里求解.但是有时会误以为求递增区间，把μ=π3-x2放在y=3sinμ的递增区间[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）里求解x的取值范围而得到错误的结果.

考点4 利用三角恒等变换求三角函数值

三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，在客观题上高考也加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点是公式的应用，包括同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.

例4 已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx.

（1）求函数f（x）在[-π6，π3]上的值域；

（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

解：（1）f（x）=1+cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）+1，

因为-π6≤x≤π3，所以-π6≤2x+π6≤5π6，

所以-12≤sin（2x+π6）≤1，所以-1≤2sin（2x+π6）≤2.

所以f（x）∈[0，3].即函数f（x）在[-π6，π3]上的值域为[0，3].

（2）由f（C）=2，得2sin（2C+π6）+1=2，所以sin（2C+π6）=12.

在△ABC中，因为0

所以2C+π6=5π6，所以C=π3，所以A+B=2π3.

因为2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因为B=2π3-A，C=π3.所以2sin（2π3-A）=3sinA.

即3cosA+sinA=3sinA，即（3-1）sinA=3cosA.

所以tanA=sinAcosA=3+32.

极速突击：利用二倍角公式对函数解析式进行化简，合并成一个三角函数，把得到的角看做一个整体求出其取值范围，再求整个三角函数值的范围.根据给出的一个角的函数值可以求出角C的大小，对已知条件进行化简把其中的两个角转化为用一个角来表示即可求出一个三角函数值.

考点5 三角函数的综合应用

三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合解三角形的知识命题.

例5 已知函数f（x）=2sinx·cos2θ2+cosx·sinθ-sinx（0<θ<π）在x=π处取最小值.

（1）求θ的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=2，f（A）=32，求角C.

解：（1）f（x）=2sinx·1+cosθ2+cosx·sinθ-sinx=sin（x+θ），

∵当x=π时，f（x）取得最小值，∴sin（π+θ）=-1即sinθ=1，

又∵0<θ<π，∴θ=π2.

（2）由（1）知f（x）=cosx，

∵f（A）=cosA=32，且A为△ABC的内角，

∴A=π6，

由正弦定理得sinB=bsinAa=22知B=π4或B=3π4，

当B=π4时，C=π-A-B=7π12，

当B=3π4时，C=π-A-B=π12，

综上所述，C=7π12或C=π12.

极速突击：本小题主要考查利用二倍角公式对三角函数进行化简变形，根据最小值求出θ的值.通过三角函数值求出角A，结合正弦定理求角B，但是这里有两解，不能漏解.三角形中三角问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值为主.

考点6 平面向量共线与垂直

高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题，有时也在大题的条件中出现，属中档偏难题.平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题.

向量平行或垂直时坐标所满足的条件，即a=（x1，y1），b=（x2，y2），若a∥b则有x1y2-x2y1=0，反之也成立；若a⊥b则有x1x2+y1y2=0，反之也成立.

例6 设x，y∈R，向量a=（x，1），b=（1，y），c=（2，-4）且a⊥c，b∥c，则|a+b|=.

解：因为a⊥c，b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2，y=-2，即a=（2，1），b=（1，-2），所以a+b=（3，-1），|a+b|=10.

极速突击：利用向量平行和垂直的条件先求出x，y的值，求出a+b的坐标，可求出其模长.要区分垂直与平行的充要条件.

考点7 平面向量基本定理及坐标表示

高考对平面向量基本定理及坐标的考查，常以小题形式出现，属中档题.有时也在大题中出现，属中档题.

例7 如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为150°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23.若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.

解：建立平面直角坐标系，则OA=（1，0），

OB=（-12，32），OC=（-3，-3），代入OC=λOA+μOB（λ，μ∈R）可得：λ-12μ=-332μ=-3，可解得λ=-4，μ=-2，故λ+μ=-6.

极速突击：坐标的引入，使向量真正成为数形结合的载体，为向量与其他代数知识的结合创造了前提条件.在坐标系中只要能表示出各个点的坐标，再代入运算就是解方程问题.

考点8 平面向量的模

高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a=（x，y），求向量a的模只需利用公式|a|=x2+y2即可求解.②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|=a2.

例8 a，b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a-b|=.

解：因为a·b=|a|·|b|·cos120°=1×3×（-12）=-32，

∴|5a-b|=（|5a-b|）2

=25a2-10a·b+b2

=25×1-10×（-32）+32=7.

极速突击：因为a2=a·a=|a|·|a|cos0=|a|2，由此可得|a|=a2，所以可先求出a·b的值，再求出|5a-b|的值.对于向量坐标的求模运算，若a=（x，y），则|a|=x2+y2.如本题根据向量的模长和夹角求新的向量的模长，还是用公式|a|=a2即可解决问题.

考点9 平面向量的数量积

在知道模长和两向量夹角时，求向量的数量积用a·b=|a|·|b|·cosθ求解；若已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则用a·b=x1x2+y1y2求解.平面向量的数量积运算，常结合数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.

例9 在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=2，则CM·CN的取值范围为.

解：求向量的数量积，若有向量的模长与夹角，可以考虑用定义来做.但是在这些条件缺少的情况下我们可以进行转化，转化到与已知条件相关的或很容易求出模和夹角的向量表示这两个向量来做.这样求两个向量数量积就可以转化为求这些向量的数量积，使问题得到解决.也体现了等价转化的数学思想.

方法1：如图，过C点作CD⊥AB于D点.在Rt△ABC中，

CD=2，CM·CN=（CD+DM）·（CD+DN）

=CD2+CD·（DN+DM）+DN·DM=2-|DM| |DN|，

由于2=MN=DM+DN≥2DM·DN，

∴DM·DN≤12，

即0≤DM·DN≤12，当且仅当DM=DN=22时取得“=”.∴-12≤-DM·DN≤0，则32≤2-DM·DN≤2.∴CM·CN的取值范围为[32，2].

极速突击：利用向量回路，只要将CM和CN分别用线性表示，然后再利用向量数量积的性质进行运算.这里的易错点是只写了DM·DN≤12，而没有写成0≤DM·DN≤12，从而致错.由平面向量的基本定理知同一平面内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，利用向量线性运算的几何定义可以作出几个向量的合成向量，由此将对象进行有效统一，此法使用的关键是要把未知都往已知进行转化，然后才好求解.

坐标法

根据平面两向量数量积的坐标公式，设a=（x1，y1），b=（x2，y2），a·b=x1x2+y1y2.用坐标法求向量数量积，首先要建立合适的直角坐标系，先求出相关点的坐标，再求出向量的坐标，用坐标运算公式进行运算.

方法2：如图，以CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.则lAB：x+y-2=0，设M（x，2-x）（0≤x≤1），则N（x+1，1-x）.

∴CM·CN=x（x+1）+（2-x）（1-x）

=2（x2-x+1）=2（x-12）2+32，（0≤x≤1）.

∴当x=0，1时CM·CN取得最大值2，当x=12时CM·CN取得最小值32.

极速突击：这里的易错点是x的取值范围容易忽略，或者认为x的取值范围是[0，2]从而致错.对于规则的图形，选好坐标系后能够表示出相关点的坐标，计算出向量的数量积是关于自变量的一个二次函数，从而求出其取值范围.

（作者：车树勤，连云港市锦屏高级中学）