自适应收缩函数的Contourlet变换图像去噪方法

牛为华， 孟建良， 王 泽， 崔克彬

(华北电力大学控制与计算机工程学院，河北 保定 071003)

自适应收缩函数的Contourlet变换图像去噪方法

牛为华， 孟建良， 王 泽， 崔克彬

(华北电力大学控制与计算机工程学院，河北 保定 071003)

针对传统图像在去噪过程中存在丢失细节且去噪效果不理想的情况，提出一种自适应收缩函数的Contourlet变换图像去噪方法。该方法利用Contourlet变换的基本形式，结合软阈值和硬阈值收缩函数的优点定义自适应收缩函数，并将其应用于图像去噪。实验结果表明，所提出的方法能有效消除噪点，图像的峰值信噪比及增强因子等图像质量指标有明显地提高，去噪后图像的视觉效果良好。

Contourlet变换；自适应收缩函数；收缩阶数；软阈值；硬阈值

图像处理技术在人类生产和生活中起着重要作用。然而，由于受阴天、雾天、拍摄抖动等因素的干扰，使得图像会受到多种噪声污染，其噪声信息会干扰后续图像加工的结果，比如图像的拼接、融合、识别等。因此，图像去噪成为所有图像处理的前提，而去噪的效果将直接影响后续图像处理的结果。

传统的图像去噪方法主要有：空间域滤波和频率域滤波。空间域滤波是针对像素点的灰度值，可进行直接运算或其他方式的处理，如基于偏微分方程的方法[1-2]、全变分[3]方法及BM3D[4-5]方法等。文献[1]建立了加权混合噪声模型的能量泛函表达式，利用变分法获得其欧拉-拉格朗日方程并给出其显式差分迭代求解算法，提高了模型数值算法的速度和稳定性，避免了降噪后图像的阶梯效应。文献[3]将经典全变分模型与图像平滑扩散

原理相结合，构造了新的扩散函数，能有效去除噪声。但是，这些方法在处理图像边缘和细节上的像素效果较差，造成图像模糊。文献[4]所提出的BM3D方法利用图像自身的相似性，通过对比图像中不同位置小块图像之间的相似程度，来估计图像像素原灰度值，从而还原图像原始像素点的灰度值。BM3D去噪方法不仅视觉效果非常好，而且去噪后的图像有很高的峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)。该算法在处理图像块之间的相似性时，需要进行大量的相似性比较，造成该算法的执行效率稍差。变换域滤波先把图像信息由空间域的像素点灰度值转换成频率域等其他域，然后通过目标域中所带有的一些性质把转换后的系数进行适当处理来达到弱噪目的，最后再经过逆变换还原图像，如小波变换法[6-7]、稀疏表示方法[8-9]及 Contourlet变换法[10-12]等。小波理论已广泛应用于图像去噪中，由于常用的二维张量积小波具有各向同性且方向选择性较差的特点，一般只适于刻画图像中点的奇异性，难以刻画图像中的边缘和纹理等高维几何特性，因而相继出现了几种超小波，如曲波[6]、轮廓波[7]等，这些方法在超小波去噪的同时较好地保留图像中的线状结构。文献[8]利用图像的非局部自相似性获得原始图像的稀疏编码系数估计，然后将观测图像的稀疏编码系数集中应用于这些估计，构造了NCSR模型，在图像复原、去噪、去模糊等方面均取得了很好的效果。文献[9]利用一种基于学习的框架进行图像去模糊，该方法首先构建了耦合的学习字典，对训练样本应用耦合稀疏表示分析学习模型，由于这些字典的原子耦合在一起，重建信息可以在清晰与模糊图像之间传播；然后，在重建系数保持不变的情况下，利用清晰字典恢复最终结果，该方法可以处理未知模糊情形。

Contourlet变换作为一种新的多尺度变换，能在任意尺度上实现任意方向的分解，擅长描述图像中的轮廓和方向性纹理信息。将小波变换与Contourlet变换相结合能最大限度实现二者的优势互补，从而更好地实现图像去噪。目前Contourlet变换在图像去噪等领域有着较为广泛地应用，但其缺乏平移不变性，在进行图像处理时会在图像边缘处引起伪吉布斯失真[13]。文献[14]研究了基于小波-Contourlet变换的硬阈值图像去噪方法，解决了由小波-Contourlet变换平移变异性而产生的伪吉布斯现象，去噪效果得以加强；文献[15]利用非抽样Contourlet变换的多尺度、多方向性以及平移不变性，对加噪图像进行非抽样Contourlet变换，使得到的变换系数采用分层最佳软阈值处理，再将其反变换实现图像的去噪；文献[16]利用改进阈值函数对阈值处理的 Contourlet变换的高频细节系数上频、中频和下频进行处理，较好地弥补了各种阈值函数的缺陷；文献[17]根据Contourlet多尺度、多方向的特性，将软、硬阈值函数相结合，根据不同尺度、不同方向选择不同的阈值，保留了两种阈值函数的优点；文献[18]提出了基于分数阶微积分的数字图像去噪方法，在去噪的同时较好地保留图像边缘纹理细节信息。因此，本文将Contourlet变换中软阈值与硬阈值的处理结合起来，构造了新的收缩函数，通过实验对比分析了软、硬阈值方法、改进的Contourlet变换法、分数阶图像去噪方法以及BM3D方法，并对实验结果从定性和定量两个方面进行了分析。

1 Contourlet变换

Contourlet变换是一种“真正”的图像二维表示方法，它不仅继承了小波变换的多分辨率时频分析特征，而且拥有良好的各向异性，能用比小波变换更少的系数来表达光滑的曲线，并更好地捕获图像的边缘和轮廓信息。Contourlet变换将多尺度分析和多方向分析分开进行，首先由拉普拉斯金字塔(Laplacian pyramid，LP)变换对图像进行多尺度分解以捕获奇异点，接着由方向滤波器组(directional filter bank，DFB)[19]，将分布在同方向的奇异点合成为一个系数，再用类似于轮廓段的基结构逼近原图像，Contourlet分解过程如图1。

图1 Contourlet分解的过程

(1) LP滤波器。Laplacian塔式分解算法通过对信号分辨率进行改变，对于相关图像细节根据特定的目标来处理。在塔式分解中，先通过相关处理获得低频图像，采用低通滤波器对上一尺度低频图像进行滤波，再进行下采样操作。上采样

操作应用于低频图像后，使用高通滤波器对得到的结果进行高通滤波，并与低频图像差分，得到LP分解的高频部分，其分解过程如图2所示[20]。

图2 塔式分解过程[20]

其中， xj为第j尺度上的低频图像，H为低通滤波器，G为合成滤波器，M为采样矩阵且。LP分解对源图像 xj抽样后做低通滤波，得到源图像的一个平滑概貌部分 xj+1。源图像与 xj+1的差值 yj+1相当于一个带通图像，对概貌xj+1重复进行该操作，使源图像不断被分解，得到一个塔状结构，称为Laplacian金字塔。

(2) 迭代方向滤波器组。其由扇形滤波器组级联构成，二维双通道扇形滤波器组通过梅花形采样与扇形滤波器相结合而构成，图 3是双通道扇形滤波器组原理图[21]。

图3 分解和重构原理图[21]

2 自适应收缩函数Contourlet变换

2.1 软、硬阈值函数

Dohono的小波阈值去噪方法简洁、方便、视觉效果较好，从最小均方误差角度看是有效的。主要依据为：整个小波域内分布着噪声的能量，而对于小波域内属于 Besov空间的信号来说，其能量主要集中在几个系数中，所以经过小波分解操作，噪声的系数会小于信号系数，可以设置一个合适阈值K，对于小于K的系数，置零并舍弃，此时系数中占主导地位的是噪声；对于大于K的系数，按某一固定量向零收缩(软阈值方法)或者直接保留下来(硬阈值方法)，这时系数中占主导地位的是信号，最后进行小波重构得到去噪后的结果。

图像的高频信息主要集中在某些纹理的法线、轮廓和边缘上，体现着图像的细节，因此图像的高频信息存在于这3个方向上的细节系数中，其图像也具有明暗变化较大的特点。噪声是随机产生的，高频信息中也经常含有噪声，噪声对应的小波系数一般较小，仅由部分细节系数描述。适当尺度地将噪声与信号进行分解后，就可以将二者有效分离。

去噪的关键是修改细节系数，图像最终效果的质量也由此决定。软、硬阈值是最常用的两种方法。

(1) 收缩函数中硬阈值数学表达式为：

其中，ω表示含噪图像的小波系数，T表示阈值，Thard表示硬阈值收缩函数。其目的是将大于或等于阈值的系数保留并去掉幅值较小的系数(通常噪声的小波系数比较小)，小波系数的估计在硬阈值滤波中是无偏的，缺点是滤波后可能会产生突变，尤其是在图像的边缘处。

(2) 收缩函数中软阈值数学表达式为：

其中，sgn代表符号函数。软阈值为使小波域内的系数连续，小波系数大于阈值时，对其进行收缩操作后保存下来。因为整个过程中剪掉了一部分幅值，而且系数的估计是有偏的，所以滤波后图像的缺点是过于平滑。

2.2 自适应收缩函数

为了兼顾两种收缩方式优点，对收缩函数进行重新构建。

其中，N1，N2取正整数，N取大于等于0的整数。

对于式(3)，分解后系数本身以及 N1，N2及N的选取如下：

以上分析说明，无论是通过分解系数本身还是阶数的选取，由于收缩因子与阶数的共同作用，可以使改进后的收缩函数在软、硬阈值间灵活调整，可增强去噪过程的适应能力，且对未考虑的软、硬阈值收缩函数也考虑了进去，进一步提高了函数的效果。

2.3 算法步骤

将新的收缩函数应用于Contourlet阈值去噪，算法步骤如下：

(1) 将原始图像加噪；

(2) 对含噪图像进行Contourlet分解，建立细节分量图像序列；

(3) 设置阈值；(4) 依据式(3)处理各层分解的细节分量系数；(5) 将处理后的系数进行Contourlet逆变换，获得重建图像。

3 实验结果

式(3)中，由于系数 N1， N2及收缩阶数N可变，故采用不同的系数对图像进行处理并选取适宜的去噪效果系数。为了验证该方法的优越性，对增加高斯白噪声 σ= 25的图像进行去噪，分析比较了硬阈值去噪、软阈值去噪、文献[16]方法、文献[17]方法及分数阶方法(取文献[9]中最好的阶次v =-0 .8)。同时，为了保证实验结果的一致性，选用了512× 512的标准测试图像；采用文献[4]的高斯白噪声添加方法；Contourlet变换选择“9-7”塔式分解和“pkva”方向滤波器组进行的总分解层数为3，方向数分别为4、8、16。实验结果如图4～6所示。

由图 4～6可以看出，应用硬阈值和软阈值的Contourlet变换对图像有一定的去噪作用，但也造成了图像的细节信息丢失，以至于图像出现了模糊现象；分数阶方法对于图像的去噪有一定效果，且对比度以及细节信息的凸显都有显著地提高，但对于灰度变化较大的区域出现了高频信息的过度锐化，导致噪点清除的不理想；文献[16]和文献[17]方法去噪效果较好，但文献[17]方法会出现局部阶梯效应；应用本文方法对图像的噪点清除较明显，细节信息突出，纹理较清晰。实验结果表明，收缩函数系数 N1=7，N2=6，收缩阶数 N =5时，去噪效果较好，因此在算法的实际应用中，可以根据图像去噪程度来适当选取参数，从而实现图像的自适应收缩函数的Contourlet变换去噪。

图4 不同方法去噪后的peppers图像

图5 不同方法去噪后的lena图像

图6 不同方法去噪后的boat图像

4 图像去噪质量评价

图像去噪的质量可从定性和定量两方面进行评价。定性评价需依靠图像的视觉效果进行评价，如图7～9。而定量方法的评价目前并没有统一的标准。本文选用了反映图像灰度值变化的图像灰度值在x方向上的投影分析方法、反映图像细节信息的参数峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)、均方根误差(mean squared error，MSE)和图像增强因子(image enhancement factor，IEF)对去噪后的图像进行综合评价[22]。

4.1 图像灰度值投影分析比较

对图4～6中去噪后的图像灰度值作纵向(x方向)投影进行对比分析，投影结果如图7～9所示。

图7 图4中各图的灰度值在x方向投影

图8 图5中各图的灰度值在x方向投影

由图7～9可以看出，图像在增加高斯白噪声后图像的灰度变化剧烈；Contourlet硬阈值方法去噪后图像的灰度变化减弱，曲线变得平滑，在去噪的同时丢失了部分细节信息，使得图像出现模糊现象；Contourlet软阈值方法去噪后图像的灰度曲线变化更加平滑，细节丢失严重，模糊现象加剧；文献[16]方法去噪后的图像灰度图与原图像基本一致，但整体灰度值偏低，而且曲线略微平滑表明局部细节信息有丢失现象；文献[17]方法去噪后的图像灰度变化与原图基本保持一致，但在细节上的弱锐化现象将导致出现局部阶梯效应；分数阶方法去噪效果明显，在去噪的同时对图像的中低频信息有所增强，图像的纹理细节信息保留较好，但是曲线出现较多毛刺，表明部分区域出现锐化现象；文中所提方法具有软、硬阈值的优点，同时避免了二者的缺点，去噪后图像的灰度变化与原始图像基本一致。该方法在去噪的同时能保留原始图像纹理细节信息，特别是对图像的边缘细节有很好地保护，去噪效果明显。

4.2 图像去噪效果比较

图9 图6中各图的灰度值在x方向投影

设 Xin为原始图像， Xout为增强后的结果图像，(M ,N )为图像的大小，Y为噪声图像，则：

(1) 均方根误差：

MSE是原图像与处理图像之间均方误差，MSE值越小图像去噪效果越好。

(2) 峰值信噪比：

PSNR值越大图像去噪效果越好。

(3) 图像增强因子：

IEF用于评价算法的边缘保留能力，值越大表示保留的图像边缘越多。

对peppers、lena和boat图像分别应用硬阈值方法、软阈值方法、文献[16]方法、文献[17]方法、分数阶方法( v =-0 .8)及本文方法计算去噪后图像的MSE、PSNR和IEF，计算结果如表1～3所示。

表1 图4中peppers图像各种去噪方法的指标比较

表2 图5中lena图像各种去噪方法的指标比较

表3 图6中boat图像各种去噪方法的指标比较

由表1～3可知，采用分数阶方法去噪图像的MSE最高，PSNR和IEF最低，去噪质量较差；采用硬阈值方法和软阈值方法去噪所得结果在MSE较高，PSNR和IEF的指标相对较低，造成图像去噪的视觉效果比较差；采用文献[16]方法和文献[17]方法取得了较好的去噪，但各种指标略低；采用本文方法所得图像PSNR最高，IEF也最高，而MSE最低，表明图像的去噪效果最好。另外，由于本文方法的收缩函数系数是可变的，根据实际图像的不同可采用收缩系数得到理想的去噪图像。

4.3 运行时间比较

为了全面评估本文方法的性能，对peppers、lena和boat图像分别增加不同高斯白噪声σ的图像进行去噪，并比较相关方法的核心算法运行时间，比较结果如图10～12所示。其中，a表示文献[16]方法；b表示文献[17]方法；c表示分数阶方法；d表示BM3D方法；e表示本文方法。

由图10～12的各种去噪方法的运行时间比较可以看出，文献[16]方法和文献[17]方法的运行时间较少，随着高斯白噪声σ的增加运行时间增加不明显；分数阶方法的运行时间较长，随着高斯白噪声σ的增加运行时间逐步增加；BM3D方法运行时间介于分数阶方法和改进阈值Contourlet变换方法之间，随着高斯白噪声σ的增加运行时间明显增加；本文方法运行时间远远少于其他方法，而且高斯白噪声σ的增加运行时间基本保持不变。

图10 对peppers图像去噪时各种方法运行时间比较

图11 对lena图像去噪时各种方法运行时间比较

图12 对boat图像去噪时各种方法运行时间比较

5 结 束 语

将 Contourlet变换这种新的多尺度变换应用于数字图像的底层处理是目前较新的研究课题。本文研究了Contourlet变换图像去噪的原理，利用其在任意尺度上实现任意方向的分解、擅长描述图像中的轮廓和方向性纹理信息的性质，提出了基于自适应收缩函数的Contourlet变换方法，该方法对收缩函数的系数 N1、N2及阶数N的值可自适应选取，使得图像的去噪效果得以提升。仿真实验验证了算法的有效性，表明该方法特别适用于对运行时间和去噪质量有较高需求的图像去噪。但如何增强算法的自适应性是进一步要探讨的问题。

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Image Denoising Based on Adaptive Contraction Function Contourlet Transform

Niu Weihua, Meng Jianliang, Wang Ze, Cui Kebin
(School of Control & Computer Engineering, North China Electric Power University, Baoding Hebei 071003, China)

To solve some problems on image denoising, such as losing details and falling into poor effects, a method of image denoising is proposed based on adaptive contraction function Contourlet transform algorithm. According to the basic Contourlet transform form and combing the soft threshold and hard threshold contraction function, the adaptive contraction function is defined. Experimental results show that the proposed method can greatly remove noise, effectively improve peak signal to noise ratio, mean squared error and image enhancement factor of image quality index. After combining the improved threshold function, the image has better visual quality.

Contourlet transform; adaptive contraction function; contract order; soft threshold; hard threshold

TP 391

A

2095-302X(2015)04-0593-10

2014-09-25；定稿日期：2015-03-09

中央高校基本科研业务费资助项目(2014MS133)

牛为华(1978–)，女，天津人，讲师，博士。主要研究方向为图像视频处理、图像处理技术在电力系统中的应用。E-mail：tusiniuweihua@163.com