点击2015年高考数学中的图象试题

王勇

图象是表示函数的一种重要形式，其最大优点是直观，给出已知条件要求学生识别图象、给出图象要求学生破解有关问题、根据所给图形要求学生匹配出相应图象、没有图象要求学生数形结合巧妙地利用图象解题等是高考考查的重要内容之一.本文以2015年高考试题为载体，谈图象题的类型及解法.

1 识图

给出解析式，要求学生读懂题意，定性分析函数的性质，如单调性、奇偶性等，结合选择支不难找出正确答案.

例1 （2015年高考浙江卷文5）函数f（x）=x-1xcosx-π≤x≤π且x≠0的图象可能为（ ）.

解析 根据函数的奇偶性及特值法进行判断.

函数f（x）=x-1xcosx（-π≤x≤π且x≠0）为奇函数，排除选项A，B；当x=π时，fπ=π-1πcosπ=1π-π<0，排除选项C，故选D.

点评 本题考查函数的奇偶性、奇偶函数的图象特征及函数值的求法.考查利用所学知识对函数图象的阅读与处理能力，同时还考查运算求解能力.

2 释图

利用所给的函数图象（或部分函数图象），通过观察、探究揭示其蕴含的代数意义或几何意义，再结合有关数学知识可顺利解决问题.

例2 （2015年高考北京卷理7）如图1，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2x+1的解集是（ ）.

A.{x-1

C.{x-1

解析 在题图的基础上作出函数y=log2x+1x>-1的图象如图2所示，易知y=log2x+1的图象与线段BC的交点坐标为1，1.

结合图象可知不等式f（x）≥log2x+1的解集是{x-1

点评 本题考查对数函数的图象和不等式的解法，意在考查考生的作图、识图和用图能力.解题思路为先作出函数的图象，再由图象分析得出不等式的解集.图3

例3 （2015年高考安徽卷文10）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图3所示，则下列结论成立的是（ ）.

A.a>0，b<0，c>0，d>0

B.a>0，b<0，c<0，d>0

C.a<0，b<0，c>0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d<0

解析 因为函数f（x）的图象在y轴上的截距为正值，所以d>0.

因为f′（x）=3ax2+2bx+c，且函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在-∞，x1上单调递增，在x1，x2上单调递减，在x2，+∞上单调递增，所以f′（x）<0的解集为x1，x2，所以a>0，又x1，x2均为正数，所以c3a>0，-2b3a>0，可得c>0，b<0.故选A.

点评 本题主要考查函数的图象与性质，考查数形结合思想和函数与方程思想.解题时先利用函数图象与y轴交点的坐标确定d的符号，再由单调区间及x1，x2的符号确定a，b，c的符号.

图4例4 （2015年高考北京卷理8）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图4描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）.

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析 根据图象所给数据，逐个验证选项.

对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米/小时的燃油效率大于5千米/升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A选项错误；

对于B选项，以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B选项错误；

对于C选项，甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C选项错误；

对于D选项，最高限速为80千米/小时且速度相同时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D选项正确.

综上可知，本题应选D.

点评 本题主要考查了函数图象，数学模型及创新概念，考查识图、用图及数据处理能力和应用意识，解题的关键是理解“燃油效率”的意义.

3 译图

给出图形，要求考生用另外的图象去“转译”此图形所蕴含的丰富信息.解决这类问题的基本步骤为：

题示样图仔细观察

转译含义代数意义以图达意

展现新貌确定新图

例5 （2015年高考新课标全国卷Ⅱ理10文11）如图5，图5长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）.

解析 利用排除法求解.

当x∈0，π4时，f（x）=tanx+4+tan2x，其图象不会是直线段，从而排除A，C.

当x∈π4，3π4时，fπ4=f3π4=1+5，fπ2=22，

因为22<1+5，所以fπ2

点评 本题考查解直角三角形、函数的图象和性质.考查数学灵气、推理论证能力及数形结合思想.

4 用图

华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”.有些题若能借助图象直观去解，即数形结合，则可收到事半功倍的效果.

例6 （2015年高考湖北卷理12）函数f（x）=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-lnx+1的零点个数为 .

解析 先化简f（x），把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解.

f（x）=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-lnx+1

=21+cosxsinx-2sinx-lnx+1

=2sinxcosx-lnx+1

=sin2x-lnx+1.

由f（x）=0，得sin2x=lnx+1.

设y1=sin2x，y2=lnx+1，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图6所示.

图6

由图象可知，两个函数图象有两个交点，故函数f（x）有两个零点.

点评 本题考查诱导公式，二倍角公式，函数零点的求法和图象变换等知识.本题在确定函数零点个数时，把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题，考查了转化与化归思想的应用，通过图象判断交点个数考查了数形结合思想的应用.

例7 （2015年高考新课标全国卷Ⅱ理12）设函数f′（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f-1=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）.

A.-∞，-1∪0，1B.-1，0∪1，+∞

C.-∞，-1∪-1，0D.0，1∪1，+∞

解析 构造函数y=g（x）=f（x）x，通过研究g（x）的图象的示意图与性质得出使f（x）>0成立的x的取值范围.

设y=g（x）=f（x）xx≠0，则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，

当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，所以g′（x）<0，所以g（x）在0，+∞上为减函数，且g1=f11=f1=-f-1=0.

因为f（x）为奇函数，所以g（x）为偶函数，

所以g（x）的图象的示意图如图7所示.图7

当x>0，g（x）>0时，f（x）>0，0

当x<0，g（x）<0时，f（x）>0，x<-1.

所以使得f（x）>0成立的x的取值范围是-∞，-1∪0，1，故选A.

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，导数在研究函数中的应用，不等式的解法等.通过构造函数g（x），考查化归思想的应用，通过画g（x）的图象的示意图考查数形结合思想的应用，通过对x>0与x<0的讨论考查分类讨论思想的应用.

例8 （2015年高考湖南卷理15）已知函数f（x）=x3，x≤a，

x2，x>a.若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是 .

解析 把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的公共点个数问题处理.

函数g（x）有两个零点，即方程f（x）-b=0有两个不等实根，则函数y=f（x）和y=b的图象有两个公共点.

①当a<0时，f（x）的图象如图8（1）实线部分所示，由图象可知，存在实数b，使函数y=f（x）和y=b的图象有两个公共点.

②当0≤a≤1时，f（x）的图象如图8（2）实线部分所示，此时f（x）的图象与直线y=b至多有一个公共点，即不存在实数b，使函数y=f（x）和y=b的图象有两个公共点.

③当a>1时，f（x）的图象如图8（3）实线部分所示，由图象可知，存在实数b，使函数y=f（x）和y=b的图象有两个公共点.

综上，a<0或a>1，即a的取值范围为-∞，0∪1，+∞.

（1） （2） （3）

图8

点评 本题考查分段函数的图象和函数零点个数的判断.把函数零点个数问题转化为函数图象的公共点个数问题，考查了转化与化归思想的应用，判断函数y=f（x）和y=b的图象公共点个数时，考查了数形结合思想及分类讨论思想的应用.