模糊关系的性质指标研究

杨晓晨，武彩萍，王丽明

（太原理工大学 数学学院，太原030024）

0 引 言

模糊二元关系最早由Zadeh［1］提出，它的应用十分广泛，特别是在模糊决策领域.例如，在模糊聚类分析中，利用模糊等价关系（自反、对称、传递关系）对备择对象进行了分类；在模糊偏好结构中，严格偏好关系、无区别关系以及不可比关系均是满足某些特殊性质的二元关系；在模糊选择函数的研究中，模糊偏好关系的自反性、完全性、传递性起着重要的作用.在这些模糊关系中，经常出现的一些性质主要有非自反、反对称、T-传递、S-负传递、T-S-半传递、T-S-Ferrers关系等.Fodor［2］对这些性质进行了讨论，得出了：若Q非自反且T-S-半传递（T-S-Ferrers关系），则Q满足T-传递性.随后，Wang［3］进一步系统地讨论了这些模糊关系性质之间的联系，得到：若Q反对称且S-负传递，则Q满足T-传递、T-S-半传递、TS-Ferrers关系.一般地，一个模糊关系满足某一性质与否是确定的，但有时模糊关系未必完全满足或完全不满足某一性质.为了反映模糊关系满足某种性质的程度，Belohlavek［4］给出了模糊关系自反指标、对称指标、完全指标以及各种传递性指标等概念，从而开启了关于指标问题的研究.接着，Beg以及Mazhar［5］、Wang［6］等进一步研究了与模糊传递性指标（一个模糊关系满足传递的程度）有关的性质指标间的关系，其中有些结论是在特殊t-模下取得的.为此，本文重新定义了模糊关系的反对称指标，并在彭育威［7］等提出的条件C下，进一步研究了它与其它性质指标，尤其是与传递性有关的指标间的关系，从而将Fodor和王的一些结果推广为程度描述.

1 预备知识

首先，介绍一些模糊逻辑联结运算的概念和性质，详见文献［2，8］.

设T，S分别表示连续的t-模和t-余模；W，W′分别表示Lukasiewicz t-模与Lukasiewicz t-余模；连续的t-模和t-余模→T，T分别表示由T导出的蕴涵以及相应的非.其中，T（x，y）=x∧y是最大的t-模，称为Godel t-模，简记为min.由Godel t-模导出的蕴涵及其对应的非分别记为→G，G.

任给x1，x2，…，xn∈［0，1］，由t-模的结合律，可记T（x1，…，xn）=T（T（x1，…，xn-1），xn）.

引理1［2，8］任给x，y，z∈［0，1］，以下性质成立：

引理2 任给x，y，z∈［0，1］，以下性质成立：

证明 1）若y≤z，则T（x，y∧z）=T（x，y）=T（x，y）∧T（x，z）.若y＞z，类似可证.

2）若y≤z，则S（x，y∧z）=S（x，y）=S（x，y）∧S（x，z）.若y＞z，类似可证.

3）由（2）知，S（x，y）∧z≤S（x，y）∧S（x，z）=S（x，y∧z）.

其次，介绍模糊关系的性质指标以及有关它们之间联系的一些结论.详见文献［6］.

定义1［6］设Q是X上的模糊关系，定义

文献［6］对上述指标进行了研究，得到下列结论.

定理1［6］设Q是X上的模糊关系，则下列结论成立：

1）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TS-Semi-Trans（Q）.

3）T（Anti-Sym（Q）min，N-S-Trans（Q））≤TS-Ferrers（Q）.

定理2［6］设Q是X上的模糊关系，S=max，则下列结论成立：

1）T（Iref（Q），T-S-Semi-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Iref（Q），T-S-Ferrers（Q））≤T-Trans（Q）.

2 条件C下模糊关系性质指标间的关系

本文给出模糊关系反对称指标的又一种形式，并且在条件C下，进一步讨论这些性质指标间的关系.

定义2 设Q是X上的模糊关系，定义Q的反对称指标：

Anti-Sym（Q）=∧x≠y（Q（x，y）∧Q（y，x））.

定理3 设Q是X上的模糊关系，则Anti-Sym（Q）=1⇔Q是反对称的.

证明 由定义2知，

注1 显然，Anti-Sym（Q）与Anti-Sym（Q）min均是模糊关系的反对称指标，但这两个指标未必相等.例如，设X=｛x，y，z｝，（x）=1-x.定义X上的模糊关系

容易验证Anti-Sym（Q）=0.9，而Anti-Sym（Q）min=0.

事实上，它们之间具有如下关系：

定理4 设Q是X上的模糊关系，则Anti-Sym（Q）min≤Anti-Sym（Q）.

证明 由定义2及引理1（6）知，

彭育威等在文献［7］中提出了条件C：T（S（x，y），z）≤S（x，T（y，z））.显 然，（min，S），（T，max）和（W，W′）满足上述条件.

下面在条件C下对上述模糊关系的性质指标进行进一步研究.

定理5 设Q是X上的模糊关系，且T和S满足条件C，则下列结论成立：

1）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T-SSemi-Trans（Q）.

3）T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T-SFerrers（Q）.

证明 1）只需证任给x，y，z∈X，

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q））≤T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）. （i）若x=y，则T（Q（x，y），Q（y，z））≤Q（y，z）=Q（x，z）.

由引理1（4）知，T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）=1.故（i）式成立.

若x≠y，则由引理1（1）知，所证即为

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤Q（x，z）. （ii）

由引理1（2），（3），（5）及条件C，得：

故（ii）式成立，从而结论成立.

2）只需证任给x，y，z，w∈X，

由引理1（4）知，T（Q（x，y），Q（y，z））→TS（Q（x，w），Q（w，z））=1.故（iii）式成立.

若y≠w，则由引理1（1）知，所证即为

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤S（Q（x，w），Q（w，z））. （iv）

由引理1（2），（3），引理2（1），（3）以及条件C得，

故（iv）式成立，从而结论成立.

3）只需证任给x，y，z，w∈X，

故（v）式成立.

若y≠w，则由引理1（1）知，所证即为

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w）））≤S（Q（x，w），Q（z，y））. （vi）

由引理1（2），（3），引理2（1），（3）及条件C，得：

T（Anti-Sym（Q），N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w）））=T（N-S-Trans（Q），T（Q（x，y），Q（z，w），Anti-Sym（Q）））≤T（T（Q（x，y），Q（z，w）），（Q（x，y）→TS（Q（x，w），Q（w，y）））∧（Q（z，w）→TS（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））≤T（T（Q（x，y），Q（x，y）→TS（Q（x，w），Q（w，y）））∧T（Q（z，w），Q（z，w）→TS（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））（引理2（1））≤T（S（Q（x，w），Q（w，y））∧S（Q（z，y），Q（y，w）），Anti-Sym（Q））（引理1（2））≤T（S（Q（x，w），Q（w，y）∧S（Q（z，y），Q（y，w））），Anti-Sym（Q））（引理2（3））≤S（Q（x，w），T（Q（w，y）∧S（Q（z，y），Q（y，w）），Anti-Sym（Q）））（条件C）≤S（Q（x，w），T（S（Q（z，y），Q（w，y）∧Q（y，w）），Anti-Sym（Q）））（引理2（3））≤S（Q（x，w），S（Q（z，y），T（Q（w，y）∧Q（y，w），Anti-Sym（Q））））（条件C）≤S（Q（x，w），S（Q（z，y），T（Q（w，y）∧Q（y，w），

（Q（w，y）∧Q（y，w）））））=S（Q（x，w），S（Q（z，y），0））（引理1（3））=S（Q（x，w），Q（z，y））.

故（vi）成立，从而结论成立.

定理6 设Q是X上的模糊关系，且T和S满足条件C，则下列结论成立：

1）T（Iref（Q），T-S-Semi-Trans（Q））≤TTrans（Q）.

2）T（Iref（Q），T-S-Ferrers（Q））≤TTrans（Q）.

证明 （1）只需证任给x，y，z∈X，

由引理1（2），（3）及条件C，得：

2）只需证任给x，y，z∈X，

T（Iref（Q），Ferrers（Q））≤T（Q（x，y），Q（y，z））→TQ（x，z）.即

T（Iref（Q），Ferrers（Q），T（Q（x，y），Q（y，z）））≤Q（x，z）.

由引理1（2），（3）及条件C，得：

注2 由于满足条件C的（T，S）很多，（min，S）和（T，max）就是其中的两类，因此定理5，定理6是定理1，定理2的推广.

3 结 语

一般地，一个模糊关系应该满足或不满足某种性质.但我们常常遇到模糊关系不完全满足或不完全不满足某种性质的情形.模糊关系的指标化研究的正是模糊关系满足某种性质的程度.文献［6］对一些常见的模糊关系性质指标进行了研究，得到了它们之间关系的一些结论.其中，一些结论建立在特殊的t-模和t-余模上，不具有普遍意义.例如定理1中反对称指标的T为取小t-模，定理2仅当S为取大t-余模时结论成立.本文重新定义了一个反对称指标，并在彭育威等提出的条件C下进一步研究了这些性质指标间的关系，得到了定理5与定理6.可以看出，定理1与定理2分别是定理5与定理6的推论.因而，该讨论丰富和发展了模糊关系的性质指标理论，并将为经济和决策提供一定的理论依据.

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［7］彭育威，徐小湛，吴守宪.模糊关系的若干传递性质之间的关系［J］.模糊系统与数学，2007，21（4）：95-99.Peng Yuwei，Xu Xiaozhan，Wu Shouxian.Relations between transitivity properties of fuzzy relations［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2007，21（4）：95-99.（in Chinese）

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