奇异积分算子在BLO空间特殊界性介绍

陈杨洋

（安徽理工大学 地球与环境学院，安徽 淮南 232001）

奇异积分算子在BLO空间特殊界性介绍

陈杨洋

（安徽理工大学 地球与环境学院，安徽 淮南 232001）

BLO空间是随着BMO空间的发展而发展起来的，BLO空间起的作用正如Hp空间在L1空间中所起的作用一样，本文研究BLO空间中的奇异积分算子的有界性质，首先先给出BLO空间的定义，为研究奇异积分算子在BLO中的作用做好准备.其次给出了奇异积分算子在BLO空间特殊有界性.

BLO空间；BMO空间；奇异积分；有界性

对于Rn(n≥2)，定义Ω为该域上的零次齐次函数，由第一章已经知道，奇异积分算子和极大奇异积分算子可以表示如下：

我们可以知道，对于T和T*而言，在Lp(Rn)(1＜p＜∞)区域内有界，并且T*对于所有的f∈Up≥1Lp(Rn)都存在有界性.那么就有

此时，BLO(Rn)⊂BMO(Rn)，即BLO(Rn)是BMO(Rn)的一个子空间.基于此，我们首先将函数空间域局限在BLO(Rn)中.

特殊有界性定理

极大奇异积分算子T*满足上述条件情况下，并且Ω域内为一个可积的单位球，平均积分值为零.对于q＞2，Ω∈L1(∑)q(Sn-1)，那么有

并且在L1上Ω的连续模满足

对于任意f∈BMO(Rn)，T*要么是处处有限的，要么几乎是处处无限的.更细致的讲，如果f∈BMO(Rn)，对于x0∈Rn而言，T*f(x0)＜∞；对于其他的x0，则T*f(x0)是无限的.所以有

并且有对于一个球型的B和γ＞1：

因此我们得到

特殊有界性定理证明

引理1 假设Φ(t)是一个Young函数，ψ(t)是它的互补Young函数，那么就存在一个正常数C使得对于任意0＜t1,t2＜∞，

比如说Φ(t)=tlog(2+t)，ψ(t)=exp(t)，那么对于任何a＞0和0＜t1,t2＜∞，

引理2 对于任意f∈BMO(Rn)并且τ＞0，存在一个正常数C，使得

关于引理2的证明如下：

不失一般性而言，我们可以假设||f||BMO(Rn)=1，对于每一个固定的R≥2τ，记为：

同理，我们可以得到G≤C，I1≤C.从而综合I1，I2，I3可得特殊有界性定理成立.

〔1〕Colin Bennett.Another characterization ofBLO[J].Proceeding of the American Mathematical Society,Volume 85,Number 4,August 1982.

〔2〕G.E.Yan&D.C.Yang,Estmates for Marcinkiewica integrals in BMO and Campanato spaces[J].Glasgow Math J.2007,(49):167-187.

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O175.5

A

1673-260X（2015）09-0004-03