“追及、相遇”问题的解题策略

陈志伟

一、抓住“一个条件，两个关系”.

“一个条件”是：两物体速度相等，追者和被迫者速度相等是能否追上、两者间的距离有极值、能否避免碰撞的临界条件.因此，利用速度相等求出时间，往往是解决追及、相遇问题的突破口.

“两个关系”是：时间关系和位移关系.时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两个物体间的位移关系是解题的关键.

例1 A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度为v_A=10m/s，B车在后，其速度为v_A=30m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800m，B车才能停下.问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由.

解析 首先，根据题意，B车刹车过程中的加速度大小为根据两车的运动情况，如果不发生碰撞，那么，两车之间最小的距离应该出现在“速度相等”这一时刻，而如果此时不碰撞，那么接下来两车之间的距离将要变大，也就不会再碰撞了.利用“速度相等”，可以求出B车减速至A车的速度所用时间为：

可见，通过“速度相等”这个临界条件求出时间再进行相关计算还是比较方便的，而教学中发现，有的学生受某些参考书的影响，喜欢先列出两者位移关系的方程，然后用数学方法进行处理，通过求解位移方程（关于t的一元二次方程）、计算根的判别式或配方等途径来判断是否发生碰撞、求距离的极值等.虽然这也是追及、相遇问题的一种解法，但这样做往往会陷入复杂运算的“泥潭”.而且，纯粹从数学角度分析，也少了一点物理的“味道”，相比之下，还是把追及、相遇问题看作是一个“物理模型”来求解更加清楚简便.

二、注意“停车”陷阱.

若被追赶的物体做匀减速运动，则一定要注意判断，追上前该物体是否已经停止运动.如果直接根据位移关系列出方程求解，则极有可能得到一个错误的结果，而且是一个“不易察觉”的错误结果.

例2甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动.甲车经过乙车旁边时开始以0.5m/s²的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：（1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；（2）乙车追上甲车所用的时间.

解析 （1）利用“速度相等”，即当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，经历的时间为

（2）作业中大量学生这样解答：追上时有

，看似毫无差错，实则已掉人“停车”陷阱.导致误解的原因是被追的甲车在做减速运动，必须先判断它的停车时间：

三、巧用“速度一时间”图象.

例3 A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度V_A=10m/s，B车在后，速度V_b= 30m/s，因大雾能见度很低，B车在距a车

时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能够停止.问：（1）B车刹车时的加速度是多大？ （2）若B车刹车时A车仍按原速前进，两车是否相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时？若不会相撞，则两车最近距离是多少？（3）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过

收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？

解析 本题的第（1）问与第（2）问中判断是否相撞，与例1情况相似，不再赘述.B车刹车时加速度大小为aV_B=2.5m/s²，且两车会相撞.设经时间t两车相撞，则利用“位移关系”，有

第（3）问的常规解法是：设A车的加速度为

若采用“图象法”，则计算要容易很多.如图1所示，按照题目已知条件作出“速度一时间”图象.B车经过

4s，速度减小为20m/s，设从此时起到两车速度相等经历的时间为

速度图象，既能直观地反映两车的运动过程，又大大减少了计算量.

例4 高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v₀=30m/s，距离s₀=100 m，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图象如图2甲、乙所示，取运动方向为正方向.通过计算说明两车在0-9s内会不会相撞？

解析 由“加速度一时间”图象可画出两车的速度图象如图3所示.由图象可知，t=6 s时两车等速，此时两车距离最近.图中阴影部分面积为0-6s内两车位移之差，即