空间节约型创意折叠桌的设计模型

江姗姗 高佳慧 陈世立 李文聪 黄 辉

（广东财经大学，广东 广州 510320）

Jiang Shanshan Gao Jiahui Chen Shili Li Wencong Huang Hui

(Guangdong University of Finance and Economics，Guangzhou Guangdong 510320)

随着社会的发展，城市化进程加快，用地日趋紧张，空间拥挤问题逐渐显现。空间节约型家具逐渐受到人们的青睐。从家具领导企业宜家公司（IKEA）提出的“small space living（巧用空间）”的设计理念可以看出，节约空间型的创意家具有着广阔的市场前景。此外，随着个性化的装修风格逐渐受到人们的热捧，定制型家具也顺势成为一种时尚潮流。

2014年全国大学生数学建模竞赛的B题是关于平板折叠桌的创意设计问题［1］。该题的研究原型来源于Robert van Embricqs设计的创意组合折叠餐桌［2］。本文就是在此题的基础上，对折叠桌的加工参数进行进一步分析，同时考虑稳固性和加工方便等因素，建立符合实际生产的定制家具设计模型。

1 研究思路

现有一款创意平板折叠桌，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（图1）。平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条的空槽来保证滑动的自由度。

图1 平板折叠桌动态变化图

本文以此平板折叠桌为研究对象，有如下问题需要解决：

①建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述，便于参数设计。

②考虑稳固性、加工方便等因素，讨论符合折叠桌实际生产的最优加工参数。

③为打开定制家具的市场，迎合不同客户需求。根据客户要求的折叠桌类型，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

2 创意折叠桌参数及加工的建模分析

2.1 模型假设

①假设折叠时钢筋紧贴开槽底端，平铺时钢筋紧贴开槽顶端；

②假设主要受力的是最外侧的四根桌腿，忽略其他内侧桌腿的受力情况；

③假设木条与圆桌面之间的交接处无间隙；

④假设不考虑木条之间的摩擦力。

2.2 模型的建立及求解

2.2.1 给定平板尺寸时的折叠桌参数计算

2.2.1.1 模型准备

Step1.求桌腿长度

图2 平板简图

根据平板尺寸及木条宽度，该折叠桌由20根木条组成。由于对称性，以木条KI为例，取圆弧 的中点F到L点的长度为该桌腿的长度。由勾股定理，可以求得组成桌腿的每一段木条的长度。

根据所得数据，利用Excel对木条长度作图得示意图（图3）：

图3 长板组成图

Step2.运用三角函数［2］求最外侧桌腿的旋转角度

下面以最外侧桌腿为例，简图如图3所示，

假设OA为最外侧桌腿，在平板折叠为桌子的过程中，木条从OA运动到O，旋转的角度为∠AO。

由Step1.可以知道OA的长度，又因为桌子高53cm，每根木头厚3cm，则地面到桌子下沿的高度为50cm，即桌子的实际高度为50cm，即OH=50cm，由反三角函数公式：

Step3.求各木条旋转角度

由于钢筋穿过每一根木条，因此最终状态时所有的木条都必定垂直通过钢筋所在的平行线。每一根桌角木条的旋转中心已知，因此可以通过旋转中心以及穿过的钢筋所在平行线的点求出每一根木条的旋转角度。设xi为第i根桌腿木条的钢筋穿过点与旋转原点之间的水平位移，倾斜角为θ，此时，

据以上公式，分别求得20根木条运动划过的角度为θ1，θ2，…，θ20

表1 20根木条运动的角度

2.2.1.2 模型建立与求解

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A点作垂直于面ABCD的直线作为z轴，建立空间直角坐标系如图4所示：

图4 三维坐标系

以每一根木条的折点作为圆心，在坐标系上作每一根木条末端点的运动轨迹方程如下：

运用MATLAB软件对以上方程进行拟合，得木条的运动轨迹曲面，如图5所示。

图5 木条运动轨迹图

由于开槽是为使得折叠桌灵活展开而设计的［3］，桌面未打开时钢筋处于开槽的（最接近桌面中心）最上端；桌面完全打开后，钢筋处于开槽的最下端。

图6 创意折叠桌图

由于钢筋MM′的位置是固定不变的，因而，每根木条的钢筋点位置到折点（圆心）的垂直距离都是相等的。图中B点为钢筋运动的终态位置，假设钢筋运动的始态位置在G点，则由以下算式：

开槽长度=终态钢筋所处位置-始态钢筋所处位置

表2 木条的开槽长度

以桌面左上角为坐标原点，AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，垂直地面向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系。然后进行三维空间中的桌角边缘线曲线拟合，用MATLAB加以实现，得到该拟合曲线所在曲面（图7）。对该曲面进行XOZ平面上的投影。

图7 桌脚边缘线拟合曲面1

图8 桌脚边缘线拟合曲面2

此时决定系数R2=1，说明所有的点都在该曲面上。对XOZ平面上的投影进行曲线拟合得到图8，此时决定系数为0.999，拟合效果良好。

因此，该桌脚边缘线的表达式为：

2.2.2 最优参数设计模型的建模及求解

根据与家具生产商的交流沟通以及物理的相关知识，只要桌子重心不超过桌角所围成的矩形区域，桌子就不会翻倒。本文以桌子四脚与地面围成的矩形面积大于桌子的面积为约束条件：

为避免开槽的长度长于桌脚长度，设置约束条件为：

建立最终的线性规划模型：

目标函数：minF（θ）=Rmax×2

当R=40，h=70时，求该线性规划的最优解为θ=29.8°，，则有

①桌子长度L=80.67×2=161.3

②钢筋位置为最外侧桌腿的中点；

2.2.3 定制型模型展示

2.2.3.1 菱形折叠桌

假设该菱形折叠桌要求的桌高为70cm，对角线的长度为80cm。根据原来的模型求得，需要153.8×80×3cm的长板来进行设计。

图9 菱形折叠桌简图

图10 菱形折叠桌动态图

根据给定尺寸以及几何分析可以得到每根桌腿的长度以及运动轨迹方程，根据相似三角形的原理可以求得菱形的桌腿长度。为了更好地展示该折叠桌的运动过程，本文运用MATLAB软件对此加以实现，得到相应的动态图如图10所示：

2.2.3.2 心形折叠桌

假设客户要求定制的心形的桌子高度为50cm，木板的尺寸保持原尺寸不变，计算原理同上，假设心形折叠桌的桌面简图如图11所示：

图11 心形折叠桌的桌面简图

根据规划模型进行求解，并运用MATLAB软件对此过程加以实现，得到相应的动态图如图12所示：

3 模型改进

在初步的制造过程中我们发现该设计存在不小的缺陷。当桌子承受的压力过大时，桌脚与地面的摩擦力会小于水平方向上的分力，导致桌子有展开的趋势。

为了解决此问题，我们在原设计上进行了改进，在连接处加了四根可动的钢条固定，经实际测试着实能大大提高最大承受压力。

目前，本文所研究的创意平板折叠桌投入生产，生产制造出的桌子如图13所示。

图12 心形折叠桌动态图

图13 实物展示图

［1］2014高教杯全国大学生数学建模竞赛B题http：//www.mcm.edu.cn/htm l_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.htm l

［2］中国设计之窗 http：//www.333cn.com/industrial/sjxs/133003.html

［3］刘锡良.现代空间结构［M］.天津：天津大学出版社，2003.