局部恰当半群

付志青 崔冉冉 李真珍 梁 涛

（1.南昌大学抚州医学院计算机与数理教研室，江西 抚州 344000；2.河南工业大学 理学院，河南 郑州 450001；3.景德镇学院，江西 景德镇 333000；4.南昌大学抚州医学院，江西 抚州 344000）

1 引 言

设S是半群，a∈S。在S上定义二元关系0：对任意的x，y∈S，

不难验证（S，0）也是半群，记为（S，a），并且称为S的簇。很显然，在（S，a）中的正则元一定是S的正则元，但反过来不一定成立。于是，设a，x是S中的元，说x关于a保持正则性，如果x满足在（S，a）中是正则的。更进一步，如果S中所有的正则元关于a保持正则性，则称a是S的正则性保持元。S中所有正则性保持元构成的集合记为RP（S）。如果S是幺半群，则RP（S）是S的单位群。有关于正则性保持元可参考文献［1-9］。

任意半群S，幂等元构成的集合记为E（S）。e∈E（S），称eSe是半群S的局部子幺半群。设C表示半群类，若半群S的每一个局部子幺半群都属于C，则称半群S是局部C的。富足半群S称为恰当半群，如果E（S）构成半格。半群S中所有局部子幺半群若是恰当半群，则称S为局部恰当半群。

Khan和Lawson证明了局部逆半群S中，幂等元e∈RP（S）当且仅当eSe是局部逆半群S的逆断面［10-12］。富足半群作为正则半群的推广，从而产生这样的问题：在±富足半群中是否有类似的结果，即在局部恰当半群S中，幂等元e是正则性保持元当且仅当eSe是局部恰当半群S的恰当断面，这也是一个十分自然的问题，本文主要考虑这个问题［13］。

2 正则性保持元

设S是一个半群，a是S的一个正则元。S中的元素b满足a=aba。则称b是a预逆。记a所有预逆的集合为Pre（a）。由定义可知，a是S的正则元当且仅当a有预逆。在S中a的逆元定义为：元x∈S使得a=axa和x=xax。显然b是a的逆元当且仅当a是b的预逆并且b是a的预逆。也就是说，预逆是比逆元“更弱”的元［14］。

对于带B，设B=Uα∈SEα是B的一个半格分解，如果e∈Eα，则把矩形带Eα记为E（e）。

接下来的命题给出预逆的性质。

引理2.1 S是半群，a，b∈S，则下面的条件等价：

①aL*［R*］b

②对于任意的x，y∈S1；ax=ay［xa=ya］⇔bx=by［xb=yb］

结论2.2S是半群，e2=e，a∈S，则下面的条件是等价的：

①aL*e［aR*e］；

②ae=a［ea=a］且对于任意的x，y∈S1；ax=ay［xa=ya］⇒ex=ey［xbe=ye］

显然的，L*是右同余，R*是左同余。且有L⊆L*和R⊆R*。若a，b是正则元，aL*b［aR*b］当且仅当aLb［aRb］。为方便，与a有L*关系的幂等元记为a*，与a有R*关系的幂等元记为a+。恰当半群中，每一个L*类和R*类都只有唯一的幂等元。若 K*表示格林*关系 L*，R*，H*，D*以及 J*，记Ka*为包含a的K*类［15-16］。

命题2.3 S是幺半群，则a∈RP（S）当且仅当a是S的单位元。

证明 假定a∈RP（S）。因为S是幺半群，有1∈S，更进一步，1∈Reg（S），可知1是（S，a）中正则元。故存在x∈S使得1=1∘x∘1于是有1=1∘x∘1=1axa1=axa，从而得a是S的单位元［17］。

反过来，假设a是S的单位元，b∈Reg（S），则存在x∈S，使得

b=bxb=baa-1xa-1ab=b（a-1xa-1）ab=b∘（a-1xa-1）∘b

从而得在（S，a）中b是正则的，进而得a∈RP（S）。

引理2.4 S是富足半群，a∈RP（S），则对于任意b∈Reg（S），有SbS⊆SaS［18-19］。

证明 设a∈RP（S），可知对于任意b∈Reg（S），有b是（S，a）中正则元。于是存在x∈S，使得b=b∘x∘b，从而b=baxab，可得b∈SaS，更进一步得SbS⊆SaS。

命题2.5 S是富足半群。

①a∈RP（S），则对于任意b∈Reg（S）有baR*bL*ab

②a∈RP（S）当且仅当对于任意b∈Reg（S）有ba R bL ab。

证明 ①设a∈RP（S），则对于任意b∈Reg（S），存在z∈S使得b=b∘z∘b，从而b=bazab。现假定abx=aby，等式左边乘ba可得bazabx=bazaby，也即是得到bx=by，进一步即证明了bL*ab，对偶地有baR*b。

②设对于任意b∈Reg（S）有ba R bL ab。接下来证明a∈RP（S）。由假定，可知存在

x，y∈S使得bax=b，yab=b。又由于b∈Reg（S），存在z∈S使得b=bzb。从而可得

b=bzb=baxzyab=b∘（xzy）∘b

于是b关于a保持正则性，即得a∈RP（S）。反过来证明可参考［12，引理4。2］。

引理2.6 S是富足半群，a∈RP（S），若e∈Ha*∩E（S），则有e∈RP（S）。

证 明 设 a∈RP（S），若 e∈Ha*∩E（S）。 有 e R*aL*e，于是可得 a=ea=ae。对任意的 b∈Reg（S），存在x∈S使得b=b∘x∘b，从而b=baxab，进一步可得到

b=b∘x∘b=baxab=beaxaeb=be（axa）eb=b∘（axa）∘b

于是得b关于e保持正则性，由于正则元b的任意性，可得e∈RP（S）。

半群S，若Reg（S）是半群S的子半群，则称半群S满足正则性条件。接下来给出本节的主要定理。

定理2.7 S是富足半群满足正则性条件，e∈E（S），则接下来的命题是等价的：

①e∈RP（S）。

②对任意的f∈E（S），有feR f Lef。

证明 ①⇒②可由命题2.5得出。

②⇒③设f∈E（S），由于fe R f L ef。，可知存在x，y∈S，使得fex=f=yef。于是

fexfyef=（fex）f（yef）=fff=f，

从而得exfye∈Pre（f）∩eSe。

②⇒③设a∈Reg（S），a'∈Pre（a），可得aa'，a'a∈E（S）由（3），则存在u∈Pre（aa'）∩eSe，

v∈Pre（a'a）∩eSe。接下来考虑va'aa'u。容易验证va'aa'u∈E（S）。且有

ava'aa'ua=aa'ava'aa'uaa'a

=a（a'ava'a）a'uaa'a

=a（a'a）a'uaa'a

=aa（'aa'uaa'）a

=aa'aa'a

=a

即得到va'aa'u∈Pre（a）∩eSe。进一步证明了Pre（a）∩eSe≠。

3 局部恰当半群

本节将主要研究局部恰当半群中正则性幂等元的刻画。

命题3.1 S是恰当半群，e∈E（S）。记

①则Se是S的恰当子半群，且（Se，e）为恰当半群。

②进一步地，Reg（Se）是S中包含e的最大的正则子半群U，使得（U，e）为正则半群。

证明①由于e∈Se，可知Se≠。设a，b∈Se，则存在a'∈Pre（a）∩Se，b'∈Pre（a）∩Se。又由于

ab（b'a'）ab=a（bb'）（a'a）b=a（a'a）（bb'）b=（aa'a）（bb'b）=ab

于是可得b'a'∈Pre（ab），注意到b'a'∈eSe，从而得Pre（ab）∩eSe≠，也即是得到Se是S的子半群。

接下来证明Se为恰当半群。设a∈Se，则存在a'∈Pre（a）∩Se。注意到eae∈eSe，且

a'aa'（eae）a'aa'=a'（aa'eaea'a）a'=a'（aa'aa'a）a'=a'aa'

于是可得eae∈Pre（a'aa'）∩eSe，从而有a'aa'∈Se，进一步，可得

aa'=a（a'aa'），a'a=（a'aa'）a∈Se

为此即证明了Se是S的富足子半群。又由于E（Se）⊆E（S），从而有Se为恰当半群。

为了证明（Se，e）是恰当半群，设a∈（Se，e），a'∈Pre（a）∩Se。则由于

a=a（a'aa'）a=ae（a'aa'）ea=a∘（a'aa'）∘a

可知a'aa'是a在（Se，e）中的预逆元。于是得在（Se，e）中有a∘a'R*a，a'∘aL*a，从而证明了（Se，e）为富足半群。另一方面，对任意的g，h∈（Se，e），有

g∘h=geh=ghe=hge=heg=h∘g

于是可得E（Se，e）是半格，进一步，可得（Se，e）为恰当半群。

②容易验证，Reg（Se）是S的正则子半群。假定T是S中包含e的任意正则子半群，使得（T，e）为正则半群，a∈T。于是存在x∈T使得a=a∘x∘a，x=x∘a∘x，从而可得a=aexea，x=xeaex，进一步有exe∈Pre（a）∩eSe，进而得a∈Se，故T⊆Se。

正则半群都是富足半群，根据命题3.1，有任意的正则半群S，幂等元e是正则性保持元当且仅当Se=S［参看19］。

设S是半群，对于幂等元e∈S，对于任意的f∈E（S）都有f=fef，则称e为中间幂等元。若eE（S）e是半格，则称e为正规中间幂等元。若a，b∈S，有aeb=ab，则称e为中间单位元。

引理3.2 S是富足半群，则中间幂等元和中间单位元都是正则性保持元。

证明设e∈S是中间幂等元，则对于任意的f∈E（S），有fef=f。从而可得feRfLef。再由定理，可知e∈RP（S）。注意到任意中间单位元e都是中间幂等元，进而有e∈RP（S）。

设S°是富足半群S的恰当*-子半群，E°是S°幂等元半格。若对于任意的x∈S，都存在e，f∈E（S）及唯一元x°∈S°，使得 x=ex°f，且eL*x°+，fR*x°*，其中x°+，x°*∈E°则称S°为S的恰当断面。此时e，f∈E°都是由x唯一确定，且eR*x，fL*x，记ex为唯一幂等元e，fx为唯一幂等元f。

引理3.3［16］S是富足半群，e∈E（S），则eSe是S的*-子半群。

定理3.4 S是局部恰当半群，则e∈E（S）∩RP（S）。当且仅当eSe是S的恰当断面。

证明设e是S的正则性保持幂等元。由于S是局部恰当半群，有eSe是恰当半群。于是根据引理，可得eSe是S的恰当*-子半群。

接下来将从三个方面来证明eSe是S的恰当断面。

（i）由于e∈RP（S），则对任意的f∈E（S），有feRfLef。

（ii） 设 a∈S，g，f∈E （S） 且 gR*aL*f。 则 有egeR*eaeL*efe。进一步的由（i）及e∈RP（S），可知geR*a，egeR*ea，且存在z∈S使得f=f∘z∘f=fezef。现假定x，y∈S1，若xeae=yeae，则有

xea=xeaf=xea（fezef）

=xeaefzef=（xeae）fzef

=（yeae）fzef

=yea（fezef）

=yeaf

=yea

进而得到 xege=yege。注意到（ege）（eae）=egeae=egae=eae，则有egeR*eae。对偶地，可得efeL*eae。。

（iii）在eSe中，记（eae）+［（eae）*］为eae的R*［L*］-类唯一幂等元。由（ii），可知（eae）+=ege。（eae）*=efe再由于g，f∈E（S），e∈RP（S），则存在s，t∈S使得g=g∘s∘g=geseg，f=f∘t∘f=fetef存。注意到 geLege，efLefe且 a=（ge）（eae）（ef）。于是存在 x∈eSe使得 a=uxv，其中 u，v∈E（S），uL*x+，vR*x*且 x+，x*∈E（eSe）。根据［10］，引理 2.1，可得uR*a，vL*a。进一步根据，有eueR*eae。eveL*eae。。又由于eSe是S的恰当*-子半群，于是得在eSe中，每一个L*-类和R*-类都有唯一的幂等元，从而有eue=ege，eve=efe。因为 uL*x+，vR*x*，v=x*v，x+，x*∈E（eSe），所以有 u=ue，v=ev，从而可得eu=eue，ve=eve，进而有eu=ege，ve=efe。再根据（i），可得euLu+且veRv*。再由于eSe是恰当半群，于是可得到eu=x+，ve=x*。从而有

eae=（ege）（eae）（efe）

=（eu）（eae）（ve）

=（eue）a（eve）

=（eu）a（ve）

=x+gxfx*

=x

于是有在eSe中eae是由a唯一确定的，且eSe是S的恰当断面。

反过来，假定eSe是S的恰当断面。设f∈E（S），则存在 f°∈eSe，使得 f=gf°h，其中 g，h∈E（S），gL*f°+，hR*f°*，f°+，f°*∈E（eSe）。

另一方面，容易验证

fegf°hef=fgef°ehf=fef°hf=fff=f

于是得egf°he∈Pre（f）。注意到 egf°he∈eSe，从而有Pre（f）∩eSe≠。则由定理可知。

e∈RP（S）。

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