题尽教方始——从一道习题的纠错谈起

葛琳玲

（浙江省宁波市鄞州区横街中学 浙江宁波 315000）

题尽教方始
——从一道习题的纠错谈起

葛琳玲

（浙江省宁波市鄞州区横街中学 浙江宁波 315000）

数学课不仅要进行知识的传授，更要重视数学思维能力的培养.而思维永远是从问题开始的.课堂之上如果只是就题论题，不给学生发现问题和提出问题的机会，那么如何能提高学生的数学思维呢？笔者认为，在讲解习题时要充分挖掘其潜在的数学价值，并让学生去发现去提问去探究.因此当貌似解答完一个习题时往往是真正探究才刚刚开始之时.下面笔者就从一道习题的纠错谈起。

⒈习题呈现

习题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边.当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）.

⑶当 a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的 c的取值范围.

⒉在纠错中探究正解

易得此题中前两小题的正解：

但对于第⑶小题的解法却是五花八门，因此课堂上师生共同在纠错中探究正解.

生：这种解法明显是错误的，因为没有考虑三角形的存在性问题.比如当c=1时， 满足条件但此时△ABC并不存在，更谈不上是锐角三角形了.

师：你分析得太对了，还举反例进行说明，很好！那么要使得△ABC存在，c要满足什么条件？

师：对这种解法，大家有什么不同的看法吗？

生：此解法忽略了“c为最长边”这一条件，c的取值范围是 4

生：当c=b=4时也满足“c为最长边”这一条件，所以c的正确取值范围是

⒊在变式中悟出通径

师：如果把题设中的“c为最长边”去掉，那么第⑶小题的结论会发生怎样地变化呢？现请同学们分小组探究一下，充分发挥你们的数学才能，每组争取汇总一个合理的结论.

……

小组结论1：由之前的探究过程知：当c为最长边时 c的取值范围是①当时即当时，△ABC是直角三角形；②当时，△ABC是锐角三角形；③当时，△ABC是钝角三角形.

因此只要再考虑当c不是最长边时的情况即可.当c不是最长边时，只能 4是最长边，因此①当时此时△ABC是直角三角形；②当时，△ABC是锐角三角形；③当时，△ABC是钝角三角形.

小组结论2：在结论1的基础上，我们还可以把结论整合一下，发现：①当即或时，△ABC是直角三角形；②当时，△ABC是锐角三角形；③当或时，△ABC是钝角三角形.

师：太厉害了！在同学们的通力合作探究下，最终得到了一个完美的结论，如果用字母来表示这个结论，那么就能得到解决此类问题的通法.

被告:The first，that Opupa,send the phone number to Nigeria to prosecute.(首先，那个Opupa,把电话号码送回尼日利亚去起诉。)

⒋在验证中追求完美

师：到这里我们不仅成功地解答了第（3）小题，而且还深入探究得到了解决此类问题的通性通法.那么此题对我们来说还有继续探究的价值吗？

……

生：老师，我们不仅要知其然，更要知其所以然！第（3）小题的探究都是基于第（2）小题的猜想才能成立.那么如何验证第（2小题的猜想呢？

师：你真是太棒了！“疑是知之始”，提出问题往往比解决问题更为重要！你提出了一个很有价值的问题！为更完美地探究此题指明了方向.接下去我们就来尝试验证此猜想，不妨先来证明“三边长分别为6，8，11的三角形是钝角三角形”这一结论.

……

生：如图△ABC中BC=6，AC=8，AB=11，过点 A作 BC边上的高线交直线 BC于点H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中则解得所以△ABC是钝角三角形.

生：我有不同看法.这样做已经在图形上默认是一个钝角三角形了，因为高线画在三角形外面，也许高线可以在三角形里面呢？因此除了上述情况，我认为还有一种情况也要加以讨论.如图△ABC中 BC=6，AC=8，AB=11，过点 A作 BC边上的高线交直线BC于点H.在Rt△ABH中在Rt△ACH中则解得所以此种情况排除.综上所述，△ABC是钝角三角形

师：你们的思维真敏捷！考虑问题也很细致全面！除了这种证明方法，以后我们在高中时还会学到余弦定理，用余弦定理同样可以证明“三边长分别为 6，8，11的三角形是钝角三角形”这一结论.同理，任意给出一个三角形，只要知道它的三边长度就可以判定它的形状.

师：我们在解决一个数学问题时，千万不能就题论题，而是要充分挖掘它潜在的数学功能，善于发现问题，敢于提出问题，并能在解决新的问题的过程中通过与他人合作交流提高自己分析和解决问题的能力.

结束语：

《课标》要求学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.