基于保角变换法对V型槽电容传感器中静电场的相关计算

江昌龙

（黄山学院 信息工程学院，安徽 黄山245041）

0 引 言

文献[1]研究了一种称作为带有V型槽的超声波电容传感器，传感器如图1（a），传感单元如图1（b）所示的，图中是放大后的尺寸，实际尺寸是在微米数量级的。此传感器的传感单元通过发射超声波并接收反射波，通过时间差来对障碍物的距离计算和定位，发射和接收超声波的时候，都是要通过介质膜片的振动来实现的，而膜片的振动是由传感器中两电极之间的电场变化引起的。在传感器的设计中为提高灵敏度和精度需要知道对传感器传感单元包括电容、电极电荷密度等在内的静电场的精确计算，才能对膜片的振动弯曲作出正确的分析计算，为设计提供理论依据。

图1 静电超声传感器模型及传感单元结构

对传感器实验测试结果[2]表明，理论计算还远没有达到要求。在各种理论计算方法中[3-4]，文献[4]采用了平面极坐标系下的分离变量法计算该传感器单元的静电容，虽然分析了传感单元内实际电场、电荷分布的特点，但是该算法计算气隙部分的顶角处的电容时取的是一个扇形半径，这对于电荷集中的“脊”部分电容误差是很大的。为探讨更好更有说服力的电容计算，本文通过保角变换法[5]给出另一种算法。

1 问题模型

分析图1（b）中传感器传感单元的电场及电荷分布特点，在“脊”部分场强和电荷分布密度都比较大，而在气隙中间部分场强和电荷分布密度都比较小，如图2所示，并建立复平面z平面。为计算该传感器传感单元的静电容，考虑到传感单元的对称性，取一半作为研究对象。设电介质厚度为h，电介质介电常数为εr(εr＞1)，将其做等效处理，即等效为空气的厚度为h/εr。由于两电极之间电介质比较薄，所以在传感器传感单元的“脊”部分可看作是平行板电容器，剩余部分是一个梯形电容器，整个传感器单元相当于这两部分电容并联，如图3所示，整个传感单元的总电容为

图2 传感单元电场电荷分布特点

2 求解计算

设传感单元的几何尺寸标注在图3当中，其中a=h/εr。平行板电容器EFGH单位长度的电容很好计算，计算式为，现在主要是梯形电容器ABCD的电容计算，根据形状特点，我们做如下几种形式的保角变换。

图3 传感单元电容分解

在梯形电容器ABCD的截面内，以两极板CD和BA的延长线的交点为坐标原点O'，以极板DC的方向为y'轴，以垂直极板DC的方向为x'轴，从而建立一个复平面z'平面，如图4所示。从z平面到z'平面的坐标变换关系为

图4 复平面坐标系

作第一次变换

将z平面的梯形区域变换到ζ1平面的下半平面，如图5所示，被变换的区域在图5中用阴影部分表示。4个顶点的坐标变换到：A1(-4a4)，B1(-4(a+b)4)，C1((a+b)4)，D1(a4)

在ζ1平面内的两极板之间的区域还是不方便求解，我们需要将电场区域变成一个圆环，也就是要使同一条电场线在各位置处的极径相等，为此再作第二次变换

变换式中θ1为ζ1平面内各点的极角，θ为z平面内各点的极角。如图6所示，在ζ2平面内4个顶点的坐标为：A2(-a4)，B2(-(a+b)4)，C2((a+b)4)，D2(a4)

这样的话就将两极板之间的电场区域变为一个半圆环区域。最后再作变换

图5 第一次保角变换

图6 第二次保角变换

将ζ2平面内的圆环区域的电场变换到ζ 平面内的平行板区域A3B3C3D3，A3B3C3D3相当于一个平行板电容器，如图7所示。4个顶点的坐标：A3(4lna,π)，B3(4ln(a+b)，π)，C3(4ln(a+b)，2π)，D3(4lna，2π)

图7 第三次保角变换

综合（3）、（4）、（5）3个式子得到总变换：

将（6）式分开表示为

由（2）式，得图4中的坐标系O'x'y'与图2中的坐标系Oxy之间的坐标变换关系为

将其代入（7） 得到ζ 平面与z平面的坐标变换式：

3 结 果

3.1 电容的计算

平行板电容器A3B3C3D3的电场只集中在两平板之间的区域，没有边缘效应。由于保角变换不改变电容，故原梯形电容器在其单位长度上的电容为：

这样整个传感器单元的总电容：

这个结果与文献中[4]的结果是一致的。

3.2 电势和电场的计算

由平板电容器的电势分布并结合（8）式得到梯形电容器ABCD在Oxy坐标系中电势分布和电场分布：

电势为u的等势线方程：

各点总场强大小：

位置x0处的电场线方程：由得(a+b+x)2+y2=(a+b+x0)2

3.3 极板电荷密度的计算

极板电荷密度：

[1]葛立峰.微气隙结构静电超声传感器的理论模型[J].科学通报，1997，42（22）：2387-2390。

[2]PenttiMattila，Fabio Tsuzuki，Heli äätäjä，and Ken Sasaki，Eleetroaeoustic Model for Electrostatic Ultrasonie Transdueers with V -Grooved BackPlates [J]，IEEE transactions on ultrasonies，Ferroelectries and frequeney control，1995，42（1）：1-7.

[3]Li-Feng Ge，Eleetrostatic airborne ultrasonic transdueers:modeling and charaeterization [J]，IEEEtransactions on ultrasonics，ferroeleetriesand frequeney control，1999，46 （5）：1120-1127.

[4]操文祥.V型槽静电超声传感器静电场不均匀性研究[J].传感器世界，2006(3)：6-8。

[5]梁昆淼.数学物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1998：423-458.