关于重要极限存在性的证明*

蒙世奎

（广西民族大学理学院，广西　南宁　530006）

蒙世奎

（广西民族大学理学院，广西南宁530006）

该证法推导简单明了，容易理解.此外，笔者还改进了传统的二项式展开法.重要极限；比值法；二项式展开法

0　引言

数列

极限的存在证明，在微积分课程教学中总难以回避.目前主要流行两种方法：二项式展开法和幂差不等式法.20世纪五六十年代国内所用《数学分析》教材[1－2]多采用“二项式展开法”证明.20世纪70年代有国外期刊给出“幂差不等式法”后，国内也出现采用这种方法证明的《数学分析》教材[3].

当b＞a＞0时，由bn＋1－an＋1＝（b－a）（bn＋bn－1a＋…＋an）容易得到

利用不等式（2）证明数列（1）极限存在的过程详见文[3].证明中通过给a，b选取适当的值而获得｛an｝单调递增有上界的结论.推导过程跳跃性比较大，技巧性也比较强，有一定的先验性，课堂上学生不易捕捉其相应思路.

“二项式展开法”是既经典又传统的方法.由于涉及前N项和的计算，对于还没有级数运算概念的读者，理解上存在比较大的障碍.在课程教学中要解说清楚，需做许多附带说明.这恐怕也是寻找其他证明方法的原因.笔者在教学中为避开以上难点，给出“比值法”的证明方法，即利用不等式

对相关数列相邻两项的“比值”进行讨论，从而确定其“单调性”.利用不等式（3）也可以对传统的“二项式展开法”做某些改进.

1　比值法

在初等数学中比较两个正数的大小，常用的比较简单的方法是：一是通过这两个数的差大于（或小于）0确定；二是通过这两个正数的比大于（或小于）1确定.下面给出极限（1）存在的“比值法”证明.

证明：先构造一个与数列（1）密切相关的数列｛bn｝：

作比式并整理可得

以上“比值法”证明，只有寥寥几行算式，十分简捷.相关运算多是“二项式相乘”或简单的因式分解.对具有中学数学知识的读者应该没有困难.教学内容经这样处理，线索清楚，容易引导学生同步思考，更便于学生掌握.利用“比值法”及不等式（3），不难证明数列｛an｝单调递增.类似地，

所以数列｛an｝单调递增.但要确认｛an｝有上界，则不会像数列｛bn｝那样唾手可得.通过二项式展开进行估值涉及n个项的比较讨论，确认“上界”还需要一定的分析和计算.如下改进“二项式展开法”的讨论过程，比较简单明了.

2　“二项式展开法”的改进

证明：根据不等式（3），由

因此数列｛an｝单调递增.

注1：由数列｛an｝单调递增，数列｛bn｝单调递减，得bn＞e＞an，所以

[1]辛钦著.数学分析简明教程[M].许宝禄，译.北京：人民教育出版社，1951.

[2]菲赫金哥尔茨.数学分析原理[M].丁寿田，译.北京：人民教育出版社，1962.

[3]华东师大数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[责任编辑 苏 琴]

[责任校对 方丽菁]

O172

A

1673－8462（2015）01－0066－02

2014-10-10.

蒙世奎（1942-），男，广西民族大学理学院副教授，研究方向：微分方程.