几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算

胡 攀

(四川文理学院 数学与财经学院，四川 达州 635000)

在现实世界中存在着大量的随机性和模糊性等不确定性．随机性是一种客观的不确定性，随机变量的分布函数可以通过统计方法很容易得到．然而，模糊性是一种主观的不确定性，刻画模糊性的隶属函数由有经验的专家给出．为了处理模糊过程，1965年Zadeh 用隶属函数引入模糊集合的概念［1］． Liu 在2002年定义了可信性测度与模糊事件的自对偶性，由此建立起可信性理论，使之成为研究模糊理论的一个数学分支［2］;为了描述动态模糊，2008年Liu 在模糊环境下提出了与布朗运动相对应的Liu 过程的概念，同时建立了Liu 股票价格模型［3］;2008年Qin 与Li 在上述模型基础之上建立了欧式期权定价公式［4］;2009年Qin 与Gao 又提出了分数Liu 过程［5］．基于上述理论，2010年谭英双借助Liu 过程，Liu 公式等不确定性理论建立的模糊欧式看涨期权推导出模糊环境下的净现值流公式［6］;2013年胡华给出了标的股票服从几何分数Liu 过程的幂期权定价模型［7］;同年林亮、吴帅给出了模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型［8］．

亚式期权作为一种强路径依赖性期权，可分为算术平均和几何平均两种．随机条件下亚式期权的定价模型是在理想化的市场假设条件下得到的结果，其完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等模糊因素对金融市场的影响，因而期权价值被低估．随机条件下几何平均亚式期权的定价问题参见文献［9 -12］．由于现实的金融市场中存在大量的模糊性，因而考虑模糊环境下几何平均亚式期权的定价问题似乎更符合市场的实际情况．现有的研究成果中，对于亚式期权VaR 的讨论，都是在随机条件下进行的，存在风险价值被低估的可能．而对于模糊条件下期权的VaR 研究，迄今为止还是空白．

因此，本文在金融市场受模糊性因素影响的基础上，在标的股票价格服从几何Liu 过程的模型假设下，首先利用可信性理论给出几何平均亚式看涨、看跌期权的定价公式及其证明过程;其次利用定价公式给出几何平均亚式看涨、看跌期权的VaR 计算方法;最后通过数值计算比较随机和模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值和VaR 值．期望能为期权投资者或金融炒家提供一种更加符合实际市场的投资决策或规避风险的工具．

1 基础知识

1．1 可信性理论

定义1［3］Liu 过程Ct的正态隶属函数为

特别，当e=0，σ=1 时称Ct为标准Liu 过程．

定义2［13］假设Ct是一个标准Liu 过程，则称模糊过程为Liu 过程的积分．

引理1［13］对任意t ＞0，Ⅰt的正态隶属函数为

引理2［14］(可信性反演定理)假设ξ 是隶属函数为μ 的模糊变量，对于任意实数集合B，ξ 的可信性测度

定义3［15］假设ξ 是一个模糊变量，则ξ 的期望值为

1．2 Liu 股价模型

假设模糊金融市场中仅存在两种证券:一种为债券，t 时刻的价格记为Bt;另一种为股票，t 时刻的价格记为Xt．文献［2］给出了股票价格服从几何Liu 过程的一般模型

其中r 表示无风险利率，e 为股票的漂移项，σ 为股票的扩散项，Ct为标准Liu 过程．

1．3 VaR 的定义及计算方法

1996年，J．P．Morgan［16］在随机条件下提出了度量金融衍生工具或投资组合市场风险的VaR 方法，自此VaR 便成为金融市场上管理和控制风险的重要工具．

定义4［16］VaR 是指在给定置信水平和一定持有期内某一金融衍生工具或投资组合所面临的最大可能损失．其含义是风险价值．

考虑投资组合Π，假设θ0表示该组合的初始价值，R 表示持有期内组合的收益率，则其期末价值θ =θ0(1 +R);记投资组合的最低收益率为R*，则其最低价值θ*=θ0(1 +R*);模糊环境下与给定置信水平α 对应的最低收益率可表示为:

记μR和σR分别表示R 的期望回报和波动率．依定义4，模糊环境中投资组合的相对VaR 为:

绝对VaR 为:

其中ECr表示依赖于可信性测度Cr 的数学期望．

2 几何平均亚式期权定价模型及其VaR 计算

亚式期权作为强路劲依赖型期权，分为看涨和看跌两种． 看涨(看跌)期权赋予期权持有者在到期时间按既定价格购买(销售)一定量的股票的权利而不是义务．执行价格为K，到期时间为T 的几何平均亚式看涨期权在t =0 时刻的价值为看跌期权的价值为P = e-rTE(K -．

定理1 记C=C(X0，K，e，σ，r)，P=P(X0，K，e，σ，r)，则Liu 股价模型下，执行价格为K，到期时间为T的几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻t=0 的价值为

证明:以几何平均亚式看涨期权定价模型的推导为例，几何平均亚式看跌期权的定价模型可以类似证明．依据模糊变量的期望值定义，有

将(5)式变形后代入上式并化简得:

当x≥0 时，由可信性反演定理可知

于是

于是

综合(12)、(13)两式有

将(14)式代入(11)式可得(9)式成立．

定理2 记C(X0，K，e，σ，r)=C，P(X0，K，e，σ，r)=P 由定理1 给出，则

证明:①几何平均亚式看涨期权在［0，T］时间段内的收益率为

依据VaR 的定义，模糊环境下与给定置信水平α 对应的最低收益率为

从中可解得

于是根据期权的相对风险与绝对风险的定义即可得结论．

②几何平均亚式看跌期权的绝对风险价值与相对风险价值可类似证明，这里从略．

3 数值计算

下面通过数值计算比较模糊条件下和随机条件下几何平均亚式期权的价值与VaRrel值，计算结果见表1、表2．随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的解析定价公式采用2001年章珂、周文彪、沈荣芳给出的定价模型［17］． 随机条件下几何平均亚式期权的VaRrel计算公式采用2009年董洪坤［18］的结果．分别记随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值为C(t，Bt)和P(t，Bt);模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值记为C(t，Ct)和P(t，Ct)．模型中各参数取值如下:

表1 的计算结果显示，模糊环境下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值均高于随机条件下的对应价值．原因在于随机条件下的几何平均亚式期权定价完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等突发因素对金融市场的影响，从而导致价值被低估．模糊因素的忽略将导致短期内期权市场出现套利机会，这使得大量的期权投资者或金融炒家涌向期权市场，从而抬高期权价格，直到套利机会消失．以看涨期权为例，如果模糊条件下的期权价值9．5561 被定价为随机条件下的5．3319，这时期权价值存在4．2242 的套利机会，于是期权投资者或金融炒家将涌向市场直到4．2242 的套利机会消失为止．

表1 不同条件下几何平均亚式期权的价值Tab．1 The geometric average Asian option values in different conditions

表2 几何平均亚式期权的相对VaR 值Tab．2 The relative VaR values of geometric average Asian options

表2 给出了几何平均亚式期权在不同置信水平下的VaRrel值．数据显示几何平均亚式期权的VaRrel均是置信水平α 的减函数;其次由于受模糊因素的影响，相同置信水平下几何平均亚式看涨、看跌期权的VaRrel值高于随机条件下的对应值;再次在模糊金融市场中仍然是高风险对应高回报．以5%的置信水平为例，模糊条件下看涨期权的VaRrel值为30．7575，而随机条件下的VaRrel值只有16．0365．若忽略模糊因素的影响，则期权的风险值被低估14．721，低估率高达47．86%．这对于期权投资者来讲是非常危险的，因为其获得的收益与承担的风险完全不匹配．

［1］ ZADEH L A． Fuzzy Sets［J］． Information and Control，1965(8):338 -353．

［2］ LIU B D． Foundation of Uncertainty Theory［M］． Beijing:Tsinghua University，2006:81 -96．

［3］ LIU B D． Fuzzy process，Hybrid Process and Uncertain Process［J］． Journal of Uncertain Systems，2008，2(1):3 -16．

［4］ QIN Z F，LI X． Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market［J］． Journal of Uncertain Systems，2008，2(1):17 -21．

［5］ QIN Z F，GAO X． Fractional Liu Process with Application to Finance［J］． Mathematical and Computer Modeling，2009，50(9/10):1538 -1543．

［6］ 谭英双．基于模糊不确定环境的高新技术项目价值评估模型［J］．系统工程理论与实践，2010，30(6):1021 -1026．

［7］ 胡 华．标的股票服从几何分数Liu 过程的幂期权定价模型［J］．河南师范大学学报(自然科学版)，2013，41(2):1 -5．

［8］ 林 亮，吴 帅．模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型［J］．桂林理工大学学报，2013，33(1):160 -163．

［9］ 郑小迎，陈金贤．关于亚式期权及其定价模型研究［J］．系统工程，2000，18(2):335 -379．

［10］ 赵建忠．亚式期权定价的模拟方法研究［J］．上海金融学院学报，2006(5):58 -61．

［11］ 薛 红．分数跳-扩散过程下亚式期权定价模型［J］．工程数学学报，2010，27(6):1009 -1015．

［12］ 胡 攀．有交易费的分数型几何平均亚式期权的定价公式［J］．绵阳师范学院学报，2013，32(11):21 -26．

［13］ QIN Z F，LI X． Fuzzy Calculus for Finance［M］． Beijing:Tsinghai University，2008:1 -54．

［14］ LIU B D． Uncertainty Theory［M］．Berlin:Springer-Verlag，2007:48．

［15］ LIU B D，LIU Y K． Expected Value of Fuzzy Variable and Fuzzy Expected Value Models［J］． IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2002，10(4):445 -450．

［16］ MORGAN J P． Measuring the risk in Value at risk［J］． Financial Analysis Journal，1996，Nov． /Dec．47 -55．

［17］ 章 珂，周文彪，沈荣芳．几何平均亚式期权的定价方法［J］．同济大学学报(自然科学版)，2001，29(8):924 -927．

［18］ 董洪坤．几类奇异期权的VaR 度量［D］．长沙:湖南大学硕士学位论文，2009:22 -28．