浅谈运用变式教学培养学生的创造性思维

陆晓峰

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）21-0072-02

“创新是一个民族进步的灵魂”，创新能力培养的关键是培养学生的创造性思维，那么什么是创造性思维？创造性思维是指对所用的材料，从新的角度，用新的程序方法处理加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的基础是发散思维，变式教学具有多元化、多途径、开放式的设问和变化， 因此在教学中发散思维培养的关键是变式教学，那么如何进行变式教学？

变式教学要把握“变”的切入点，可以从对知识的理解上切入、从对方法的反思上切入、从对条件的反思上切入、从问题的呈现形式上切入，变条件、变形式、变结构、变内容改变为一个新题，都是构造变式的有效方法。在教学方法上采用探究式的教学， 让学生通过对“变”这个过程的参与、体会、实践，培养他们发散思维的能力和挖掘创新的潜力，激发他们对问题研究的激情，形成探究意识。下面结合案例谈谈变式教学的实践。

例1 已知集合A =[1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A∪B ，求实数a 的取值范围。

变式1 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范围。

变式2 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范围。

变式3 A = [1， a） ， B = （ - ∞，4） ，若A∪B ， 求a 的取值范围。

点评：本题从条件加以变换，属于一般层次变题。变式1 、2 只是对集合A 、B 的包含关系进行变换，变式3则是对集合本身进行变换，这种变换有助于培养学生的探究能力和创新意识。本题还可根据解答的结果对a 的范围进行改造，反过来求集合A 与B 的包含关系，它又是原命题的逆向改造。

例2 已知一曲线是与两定点O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距离的比为的点的轨迹，求曲线的轨迹方程。

变式1 已知一曲线是与两个定点O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距离的比为k （ k > 0） 的点的轨迹， 求此曲线的方程， 并说明是什么曲线。

（略解） 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为=k，将上式两边平方、化简得（1-k2）x2+（1-k2）y2-6k2x-9k2=0，易知当k = 1 时曲线为直线；当k > 0 且k ≠1 时曲线为圆。

变式2 已知一曲线是到定点A （3 ，0） 的距离与到定直线x=的距离的比为的点的轨迹， 求此曲线的方程。

（略解） 由椭圆的第二定义知道，该轨迹是椭圆。

变式3 已知一曲线是到定点A （3 ，0） 的距离与到定直线x=的距离的比为的点的轨迹， 求此曲线的方程。

（略解） 由双曲线的第二定义易知该轨迹是双曲线。

变式4 已知一曲线是到定点A （3，0）的距离与到定直线x = - 3 的距离的比为1的点的轨迹，求此曲线的方程。

（略解） 易知该轨迹是抛物线。

点评：挖掘条件将其一般化，是设计变式的一种重要策略，变式1将条件从特殊化为一般，对曲线的形状判定考察了分类讨论的思想，提高学生应变能力，揭示数学本质；变式2、3、4，这是从较高层次变题，形相似质不同。进一步挖掘条件，将条件中两定点其中一点变为直线加深了学生对圆锥曲线定义的理解，使学生对知识的学习做到融会贯通。

例3 tan20O+tan40O+tan20Otan40O=的变式教学

析：改变20O、40O两个角，等式是否成立？改变题型结构我们可以得到：

变式1 tan？+tan？+tan？tan？=

变式2 能否得到一般性的结论？将问题一般化，得到命题：

若 + 60O，则tan +tan +tan tan =tan（ + ）。

变式3 能否改变 、 与常数，等式右边仍然为常数？

tan？+tan？+tan？tan？=常数

变式4 能否进一步推广？

tan +tan +tan tan =tan（ + ）

变式5 在“变式4”中若 + =225O，结论如何？

（1+tan ）（1+tan ）=2

变式6 若 + + =n ，n∈z结论如何？

tan +tan +tan =tan tan tan

变式7 令a=x-y， =y-x， =z-x结论如何？

tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）

点评：本题变式采用对命题条件与结论对调，探究逆命题是否成立，将条件从特殊化为一般，改变结构等技巧。教学中，引导学生主动参与探索，运用探究教学既改善了传统的教学方式，也培养了学生学习数学的自主性、能动性和创造性，能促进学生形成良好的认知结构，锻炼学生的数学思维能力，提升学生的数学素养。

例4 已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，求an。

变式1：数列{an}中，已知an+2+an+1=6an，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。

解：an=2n，an=（-3）n，

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

变式2：数列{an}中，已知a2=1，an+2+an+1=6an，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。

解：an=2n而an=（-3）n，则不符合

an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a2=a·22+b·（-3）2时满足。

即只要满足4a+9b=1时就行。如a=或b=时，满足。

变式3：数列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求数列an的通项公式。

解： an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

a1=a·21+b·（-3）1时满足。

即只要满足2a-3b=1时就行。如当a=或b=-时，满足。

变式4：数列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求数列an的通项公式。

条件an+2+an+1=6an成立，则满足：

an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）

条件a1=1成立，则满足2a-3b=1

条件a2=1成立，则满足4a+9b=1

三个条件同时满足，则

所以：数列an的通项公式为an=·2n-·（-3）n。

点评：本题在变式技巧上从条件入手，先放弃一部分条件，也就是将原问题转化为一个更一般的问题。约束条件少了，降低了门槛，使学生容易上手，再增加部分条件，使原题得到扩展，由浅入深，做到起点低、目标高，小综合，遵循“由简单到复杂，再由复杂到简单”，充分体现化归的数学思想，使学生触类旁通，举一反三，收到事半功倍的效果。

变式教学中采用“一题多变”，不仅能加深学生基础知识的理解和掌握，更重要的是开发学生智力、激发学生学习兴趣、提高思维灵活性，增强了发散思维能力，培养了学生的创造性思维。

（责任编辑 曾 卉）