具有非期望产出的随机DEA模型研究

朱佳欣++孙玉华++杨丽明

摘要为解决含有不确定信息的非期望产出效率评价问题，建立了一个非期望产出的随机DEA模型.该模型将非期望产出作为负期望产出进行处理，引入了期望效率值、显著性水平来刻画随机问题，并通过机会约束规划的相关知识将模型转化为确定形式.对模型的最优值的相关性质进行了探讨，说明最优值与期望效率值、显著性水平之间的关系.最后给出数值实验说明该模型的有效性.

关键词数据包络分析；非期望产出；随机性

中图分类号O221.2 文献标识码A

Research on Stochastic DEA Model

for Undesirable Outputs Evaluation

ZHU Jiaxin1 ，SUN Yuhua1 ，YANG Liming2

（1.School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing100803， China；

2.College of Science， China Agricultural University， Beijing100083，China ）

Abstract In order to solve the evaluation problem with undesirable outputs and uncertain information， this paper established a stochastic DEA model with undesirable outputs. The model treats undesirable outputs as negative desirable outputs. Meanwhile， it introduces the desired value and the efficiency of the significant level to describe the stochastic problem. By using the knowledge of chance constrained programming， we derived a deterministic equivalent model， discussed the related properties of the optimal value of the model， and explained the relationship among the optimal value， the efficiency value and the significant level. Finally， numerical experiments were presented to illustrate the validity of the model.

Key wordsdata envelopment analysis（DEA）； undesirable outputs； stochastic

1引言

数据包络分析（data envelopment analysis，DEA），是数学、运筹学、数理经济学、管理科学和计算机科学的一个交叉领域，是使用数学规划模型评价具有多个投入和产出的部门或单位间相对有效性的分析方法[1].传统DEA模型都是基于确定性问题进行研究，但是在实际生活中，由测量、经济规律随机性等因素的干扰会产生非精确数据问题.随机DEA主要用于处理具有不确定信息下的同类决策单元的相对绩效评价问题，现在越来越受到学者的重视.Sengupta[2]最先提出了随机DEA模型，之后许多学者使用不同方法对具有随机性影响的效率评价问题进行了研究.Cooper等[3]提出了机会约束方法，将约束条件表达成概率函数的形式，以此来对随机性进行分析.Sueyoshi等[4]为了预测决策单元的未来绩效，提出了未来DEA随机模型.蓝以信等[5]从理论上对未来DEA随机模型的性质进行了探讨.Tosionas等[6]引入贝叶斯后验概率的方法，对机会约束DEA模型的评价效率值进行统计推断，并对希腊银行进行了效率评估.Udhayakumar等[7]则将遗传算法的随机模拟与机会约束方法结合起来对DEA模型进行了研究.

从环境治理方面考虑，带有污染性的非期望输出如废水、废气、废渣都是不可避免的.国内外许多学者从不同方面对具有非期望产出的评价问题进行了研究.Fare等[8]提出了一种非线性的曲线测度评价方法，用“非对称”的方式处理非期望产出，但是计算上较为复杂.Zhou等[9]为了对环境性能进行评价，在非期望产出的非参数DEA效率模型的基础上，结合非径向Malmquist环境性能指标建立了新模型，对多边环境性能进行了比较分析.Hua等[10]对非期望产出量做数据变换，定义了一个参考集，在保持投入量恒定的前提下对生态效率进行了评价.Hailu等[11]将污染物作为投入指标来处理，用DEA模型分析了加拿大的造纸工业的环境效率.许平等[12]结合生产可能集建立了径向和非径向的具有非期望产出的模型，并对两种模型的效率值大小、相对有效性等问题进行了证明.

经济数学第 32卷第3期

朱佳欣等：具有非期望产出的随机DEA模型研究

以上学者都是从随机方面或者非期望产出方面来考虑效率评价问题.将两者结合起来，将非期望产出作为负期望产出进行处理，在文献[4]的基础上提出了具有非期望产出的随机DEA模型.利用机会约束规划将模型转化为确定形式，并对确定形式的模型最优值的相关性质进行探讨，说明了最优值与期望效率值、显著性水平之间的关系.最后用数值模拟验证了该模型的有效性.endprint

2模型描述

假设有n个决策单元，DMUj（j=1，2，…n）为第j个决策单元，它的投入、期望产出、非期望产出向量分别为xj=（x1j，…，xmj）T，j=（1j，…，sj）T，j=（1j，…，rj）T，j=1，…，n.

其中，m表示投入量的个数，投入是精确数据；s和r分别表示期望产出和非期望产出的个数，期望产出和非期望产出是随机数据.为了方便起见，记DMUj0为DMU0，则DMUj0的投入量、期望产出量和非期望产出量分别记为xj0=x0，yj0=y0，zj0=z0，1≤j0≤n.

借鉴随机DEA期望值模型，可得到第j01≤j0≤n个决策单元对应的具有非期望产出的随机DEA期望值模型（I）：

maxE∑sp=1μpp0-∑rq=1ωqq0∑mi=1υixi0

s.t.P∑sp=1μppj-∑rq=1ωqqj∑mi=1υixij≤β≥1-αμp≥0，ωq≥0，υi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

其中，E·表示期望值，表示概率.在传统DEA模型中，通常要求决策单元产出的组合与投入的组合之比，即效率值不大于1.为了更具一般性，在本文模型中，要求决策单元DMUj在显著性水平α下所得的随机效率不大于β.β∈0，1代表决策单元的期望效率水平，由决策者根据外部条件来进行限制.α∈0，1表示产出的组合与投入的组合之比大于β的可能性，可以当作一个风险标准，1-α则是代表满足约束条件的可能性.易知，当β=1，α=0时，约束条件的形式与传统DEA模型一致.

利用CharnrsCooper变换，原模型可以改写成模型（II）：

maxE∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

s.t.∑mi=1vixi0=1；P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi=1vixij≥1-α；up≥0，wq≥0，vi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

为了让模型计算具有可行性，下面利用机会约束规划的概念将模型（II）转化成确定形式.模型中期望产出变量pj、非期望产出变量qj都是随机变量。假设随机变量pj可以表示为pj=pj+bpjε，p=1，…，s；j=1，…，n，pj是pj的期望，bpj是pj的标准差；qj表示为qj=qj-cqjε（q=1，…，r；j=1，…，n），qj是qj的期望，cqj是qj的标准差.由于随机干扰来源于数据，由中心极限定理可知，大量数据通常满足于正态分布，故假设ε服从正态分布N0，σ2.由上面假设，将目标函数表示成

E∑sp=1uppo-∑rq=1wqq0

=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0.（1）

另外，约束条件

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi-1vixij≥1-αj的等价形式为

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj≤β∑mi-1vixij-EjVj≥1-αj，j=1，…，n.

其中，Ej=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj，

Vj=∑sp=1upbpj+∑rq=1wqcqj2σ2.

定义一个新变量

zj=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj， 显然，zj服从标准正态分布，则约束条件写成Pzj≤β∑mj=1vixij-EjVj≥1-α，j=1，…，n，转化成

β∑mi-1vixij-EjVj≥F-11-α.（2）

其中F表示标准正态分布的分布函数，F-1为其逆函数.将（1） （2）代入模型（II）中可得模型（III）：

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，（3）

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α）≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.（4）

定义1 对于任意DMU0，若有M0<β，则称DMU0在期望效率β下是无效的.

定义2 对于任意DMU0，若有M0=β，则称DMU0在期望效率β下是有效的.

定义3 对于任意DMU0，若有M0>β，则称DMU0在期望效率β下是超有效的.

定理1 模型（III）存在可行解，且关于最优值M有以下结论：

1）当0<α<0.5时，M<β对所有决策单元恒成立.

2）当α=0.5时，M

SymbolcB@ β对所有决策单元恒成立.

3）当0.5<α<1时，M≥β对某些决策单元成立.

证明先证明存在可行解.令v*=x0‖x0‖2≥0，u*=u*1，0，…，0T≥0，u*1=min1≤j≤nv*Tβxj1j+b1jσF-11-α>0，w*=（0，…，0）≥0，则有v*Tx0=xT0‖x0‖2x0=1，式（3）成立.

又因为

∑mi=1v*iβxij-∑sp=1u*ppj+bpjσF-11-α+∑rq=1w*qqj-cqjσF-11-α=∑mi=1v*iβxij-u*11j+b1jσF-11-α≥0，

式（4）成立，故u*，v*，w*是原模型的可行解.证毕.

1）当0<α<0.5时，有F-11-α>0.当j=j0时，由式（4）可知

β≥

∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））-∑rq=1wq（q0-cq0σF-1（1-α））∑mi=1vixi0.endprint

又因为∑mi=1vixi0=1，故

β≥∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α.

由F-11-α>0，知

∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

<∑sp=1upp0+bp0σF-11-α

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α≤β.

再由j0的任意性可知，对所有决策单元，M<β恒成立.证毕.

2）当α=0.5时，由正态分布函数逆函数的性质，F-11-α=F-10.5=0，易知对所有决策单元均有M≤β成立.证毕.

3）假设DMU0在α=0.5下存在一组最优解u*，v*，w*使最优值满足M0=β.

此时F-11-α=F-10.5=0，模型（Ⅲ）化成

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，

p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

当0.5<α<1时，由F-11-α

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-11-α+∑rq=1wqqj-cqjσF-11-α>∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0.

即式（4）成立，因此u*，v*，w*是模型（III）在0.5<α<1时的一组可行解，此时目标值为M0=β.假设当0.5<α<1时，DMU0在模型（III）下的最优值为M，有M≥M0=β.证毕.

定理2在模型（III）中，当期望效率β保持不变时，最优值M随着α的增大而增大.

证明设0<α1<α2<1，有

F-11-α2

α1对应的模型（IV）为

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α1）

+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α1）≥0.

α2对应的模型（V）为

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，s.t∑mi=1vixi0=1，∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α2）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α2）≥0，up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

记M01和M02分别为模型（IV）和（V）的最优值，假设u*，v*，w*是模型（IV）的最优解.由

F-11-α2

定理3在模型（III）下，当显著性水平α保持不变时，最优值M随着β的增大而增大.

证明与定理2类似，此处略.

3结束语

将随机DEA模型推广到具有非期望产出的问题，建立的模型（I）是具有非期望产出的随机DEA模型，并结合机会约束的相关知识得出了确定型模型（III）.对确定型模型（III）的可行性进行了分析，对不同显著性水平下模型最优值与期望效率值之间的关系进行了研究.由定理2和定理3知，固定显著性水平值和期望效率值中任意一个，最优值都随着另外一个指标的增大而增大，这为决策者在实际中对决策单元进行评价时提供了更多有效信息.最后的数值模拟也进一步验证了模型的可行性和结论的正确.

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