收益共享合约对多因素同时扰动的协调应对研究

摘要研究市场需求和生产成本同时扰动时非线性需求供应链的最优应对策略.首先在稳定条件下提出供应链的收益共享协调合约；生产成本和需求扰动会导致原有的收益共享合约不再协调，提出了供应链在一体化决策时应对双因素同时发生扰动的最优策略；进一步提出了改进的收益共享合约协调分散化决策的供应链系统.最后运用数值实验对模型进行了验证.

关键词供应链管理；收益共享；突发事件；协调合约；博弈论

中图分类号F270.7 文献标识码A

Research on Coordination by Revenue Contract under

Multifactors Simultaneously Disruption

TANG Chunhua1，2

（1.Business College of Hunan International Economics University， Changsha410205， China；.

2.College of Economics and Trade， Hunan University， Changsha410079， China ）

AbstractThe optimal policies of supply chain players with nonlinear demand were considered to reply to production cost and demand simultaneous disruptions. It was proved that a revenue sharing contract can be used to coordinate the supply chain under normal environment. The coordination schemes of revenue sharing contract may be broken off by demand and cost disruptions， and the optimal policies that the centralized decisionmaking supply chain replied to the disruptions were proposed. It was further proved that an improved revenue sharing contract can coordinate the decentralized decisionmaking supply chain. Finally， a numerical experiment was adopted to validate the models.

Key wordssupply chain management； revenue sharing； disruption management； coordination contract； game theory

1引言

传统的单个企业的竞争已经扩展为供应链之间的竞争，供应链协调成为了供应链管理的热点研究问题，其中收益共享合约（revenue sharing）是应用较为广泛的一种协调机制[1].与一般合同相比，收益合约能使供应链成员较好地实现利润共享和风险共担[2].Pasternack[1]指出收益共享合约能使随机需求供应链达到协调状态；Giannoccaro 和 Pontrandolfo[3]运用收益共享合约协调了三级供应链；Gerchak 和 Wang[3]则在具有随机需求的装配系统中研究了收益共享合约；Cachon[4]对收益共享合约的优缺点进行了全面的总结；郑惠莉和达庆利[5]运用收益共享合约实现了移动互联网供应链的协调；陈菊红[6]运用收益共享合约协调了需求具有价格敏感性的供应链.上述收益共享合约的研究都是假设供应链系统处稳定环境中，然而在供应链管理的实践中，企业通常会遇到各种突发事件，如何快速找到最优的方案来应对各种突发事件，仍然是一个亟待解决的问题.各种突发事件（如自然灾难、社会安全事件、事故灾害和公共卫生事件等）会导致供应链中的物流、资金流和信息流发生中断等[7].从而使得供应链的原有生产及价格策略不再可行或者原有的合约不再协调，为维持供应链的稳定性和减少突发事件给供应链系统带来的不利影响，建立有效地供应链协调机制来应对突发事件，是供应链突发事件应急管理（supply chain disruption management）的重点[7].

经济数学第 32卷第3期

汤春华等：收益共享合约对多因素同时扰动的协调应对研究

Gang等人[7]提出了实时运作控制和修复（Real-time Operations Control and Recovery）的运筹管理方法，开发出了应急管理的实时决策支持系统，并成功应用于美国的多家航空公司，减少了航班的延误和取消，为航空公司每年节约了大量的运作成本；Clausen[8]等人研究了航空公司应对911恐怖袭击后的运营管理策略，并最先提出供应链突发事件应急管理的概念及原则；Xiangtong [9]等人运用数量折扣合约协调了突发事件导致线性需求发生扰动的供应链；Minghui[10]等人研究了突发事件导致成本发生扰动的二级供应链，并运用数量折扣合约进行了协调；Tiaojun[11]等人研究了生产成本和市场规模发生扰动的线性需求供应链，并提出数量折扣合约协调该供应链；Chongchao[12]考虑了指数需求发生扰动的供应链，并提出数量折扣合约协调该供应链；于辉[13]等人提出回购合约协调了突发事件下的供应链；曹二保[14]等人运用收益共享合约研究了成本和线性需求同时发生扰动时的供应链协调.以往研究都只考虑突发事件引起非线性需求或成本单方面的变化，还未见到多个因素同时扰动的非线性需求供应链的协调应对.在文献[10]的基础上，进一步研究在非线性需求和生产成本同时发生扰动时供应链的协调应对策略，分析突发事件对收益共享协调合约造成的影响，并提出一种改进的收益共享合约协调该供应链.endprint

2稳定条件下的收益共享合约协调模型

考虑由一个供应商和一个零售商所组成的供应链，类似于文献[10]中的非线性需求函数，市场需求d与零售价格p具有非线性关系d=D·p-2k，其中D表示市场规模（最大可能需求），k>12为价格敏感系数[4]，供应商决定批发价格w和零售商的收益占渠道总收益的比例φ，零售商根据市场需求以每单位产品w的价格订购Q件产品.供应商的单位产品成本为c，供应商利润、零售商利润和供应链总利润分别为s，fr和；显然零售价格可以表示为p=（DQ）12k，从而供应链总利润可以表示为（Q）=Q[（DQ）12k-c]，由一阶最优性条件可知，当零售商的订购数量为=D·（2k-12kc）2k，零售价格=2kc2k-1时，此时供应链总利润达到最大值fmax=Dc2k-1（2k-12kc）2k.

引理1收益共享合约能协调供应链，若对于任意的φ（0<φ<1），有fr（Q）=φf（Q）（或fs（Q）=（1-φ）f（Q））成立[4].

由文献[2]可知，此时，零售商的利润（或供应商的利润）是供应链总利润的仿射函数.故当w=φc时收益共享合约（w，φ）能实现供应链的协调.

3突发事件下一体化决策

当突发事件导致供应商的生产成本和零售商面临的市场需求的市场规模同时发生变化时，生产成本c变为c+Δc[10]，市场规模D变为D+ΔD[9]，且有D+ΔD>0，c+Δc>0.此时，零售商所面临的市场需求变为d=（D+ΔD）p-2k，突发事件下零售价格变为p=（D+ΔDQ）12k；若突发事件发生后实际的市场需求为Q，突发事件发生之前的最优生产数量为，则突发事件发生前后相应生产量的变化为ΔQ=Q-.当ΔQ=Q->0时，供应商必须追加生产以满足增加的订货量；当ΔQ=Q-<0时，将有-ΔQ单位的库存产品需在二级市场上进行销售[11]，故突发事件发生后，供应链的总利润可以表示为

f（Q）=Q[（D+ΔDQ）12k-c-Δc]

-λ1（Q-）+-λ2（-Q）+，（1）

其中（x）+=max{0，x}，λ1>0表示当ΔQ>0时，需重新购买新材料追加生产所发生的单位额外成本[7]；λ2>0表示当ΔQ<0时，需将多余库存以低于成本价格来销售而遭致的单位额外成本[7]，且有λ2

定理1当突发事件导致零售商面临的市场规模和供应商的生产成本同时发生扰动时，在一体化条件下，若ΔD>0且Δc<0，则Q*≥；若ΔD<0且有Δc>0，则Q*≤.

证明下面利用反证法证明当ΔD>0且Δc<0，则Q*≥成立，第二个结论可以类似证明.假设当ΔD>0且Δc<0，有Q*<成立.在突发事件发生之前，供应链的渠道最优生产量为，对任意的生产量Q，有（）=[（D）12k-c]≥（Q）=Q[（DQ）12k-c]，显然会有（）≥（Q*）成立.当突发事件导致零售商面临的市场规模和供应商的生产成本发生扰动后，根据假设有Q*<成立，在生产量为突发事件发生后供应链渠道最优量Q*时，供应链的渠道总利润函数变为

f（Q*）=Q*[（D+ΔDQ*）12k-c-Δc]-λ2（-Q*）

=Q*[（DQ*D+ΔDD）12k-c]-ΔcQ*-λ2

（-Q*）=Q*{（D+ΔDD）12k[（DQ*）12k-c]

+[（D+ΔDD）12k-1]c-Δc}-λ2（-Q*）

=（D+ΔDD）12kQ*[（DQ*）12k-c]+Q*

[（D+ΔDD）12k-1]c-ΔcQ*-λ2（-Q*）.

因为D+ΔDD>1，k>0，所以（D+ΔDD）12k>1；又因为Δc<0且Q*<，因此

f（Q*）≤（D+ΔDD）12k[（D）12k-c]

+[（D+ΔDD）12k-1]c-Δc-λ2（-Q*）

={（D+ΔDD）12k[（D）12k-c]+[（D+ΔDD）12k-1]c

-Δc}-λ2（-Q*）=[（D+ΔD）12k-c-Δc]

-λ2（-Q*）

<[（D+ΔD）12k-c-Δc]=f（），这与Q*为f（Q）的最优值矛盾，故当ΔD>0且Δc<0，则Q*≥成立.

从定理1可知，当ΔD>0且Δc<0，则Q*≥成立，于是最优化供应链总利润f（Q）等价于最优化严格凹函数f1（Q）=Q[（D+ΔDQ）12k-c-Δc）-λ1（Q-）且满足约束条件Q≥.

由一阶最优性条件f1（Q）Q=0可知，Q1=（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc+λ1）]2k时f1（Q）有最大值.下面分两种情形考虑约束条件Q≥.

情形1当Q1≥，有（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc+λ1）]2k≥D（2k-12kc）2k.

即当ΔD≥D[（c+Δc+λ1c）2k-1]时，有Q1满足约束条件Q≥，此时凹函数f1（Q）在Q1时达到最大值.

令Q*case1=Q1=（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc+λ1）]2k，相应于最优订货量Q*case1的最优零售价格为

p*case1=2k（c+Δc+λ1）2k-1=+2k（Δc+λ1）2k-1.

相比稳定条件下的最优生产数量及价格，此种情形下的生产数量及价格都会得到增加.

情形2当Q1<即

0<ΔD

Q1不满足约束条件Q≥.

由于f1（Q）在区间[，+

SymboleB@ ）上单调下降，故f1（Q）在=D（2k-12kc）2k达到最大值.

令Q*case2==D（2k-12kc）2k，此时相应的最优零售价格为

p*case2=（D+ΔDD）12k2kc2k-1=（D+ΔDD）12k.

相比稳定条件下的最优生产数量及价格，此种情形下尽管生产数量不变，但零售价格会得到提高.

同理，ΔD<0且有Δc>0，则Q*≤成立，于是最优化供应链渠道总利润f（Q）等价于最优化严格凹函数

f2（Q）=Q[（D+ΔDQ）12k-c-Δc]

-λ2（-Q）.

且满足约束条件Q≤.由一阶最优性条件f2（Q）Q=0可知，

Q2=（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc-λ2）]2k时

f2（Q）有最大值.

下面分两种情形考虑约束条件Q≤.

情形3当（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc-λ2）]2k≥D（2k-12kc）2k，

即D[（c+Δc-λ2c）2k-1]≤ΔD≤0时，有Q2≥成立，此时Q2为不可行解.

由于f2（Q）在区间（-

SymboleB@ ，]上单调递增，故f2（Q）在=D（2k-12kc）2k达到最大值.

令Q*case3==D（2k-12kc）2k，此时相应的最优零售价格为

p*case3=（D+ΔDD）12k2kc2k-1=（D+ΔDD）12k.

p*=+2k（Δc+λ1）2k-1，若ΔD≥D[（c+Δc+λ1c）2k-1]；

（D+ΔDD）12k，若D[（c+Δc-λ2c）2k-1]<ΔD

+2k（Δc-λ2）2k-1，若ΔD≤D[（c+Δc-λ2c）2k-1]；

Q*=（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc+λ1）]2k，若ΔD≥D[（c+Δc+λ1c）2k-1]；

D（2k-12kc）2k若D[（c+Δc-λ2c）2k-1]<ΔD

（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc-λ2）]2k若ΔD≤D[（c+Δc-λ2c）2k-1].

相比稳定条件下的最优生产数量及价格，此种情形下的生产数量将保持不变，但价格会相应下降.

情形4当（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc-λ2）]2k≤D（2k-12kc）2k，即ΔD≤D[（c+Δc-λ2c）2k-1]时，有Q2满足约束条件Q<，此时f2（Q）在Q2时达到最大值.

令Q*case4=Q2=（D+ΔD）[2k-12k（c+Δc-λ2）]2k

相应的最优零售价格为

p*case4=2k（c+Δc-λ2）2k-1=+2k（Δc-λ2）2k-1.

相比稳定条件下的最优生产数量及价格，此种情形下的生产数量将减少，价格将会相应下降.

总结上面的结果，得到如下定理.

定理2突发事件导致价格需求函数的市场规模D扰动ΔD，生产成本c扰动Δc，当零售商的零售价格为p*，订货量为Q*时，整个供应链系统的利润达到最大化，从而实现了一体化情形时供应链对突发事件的最优应对.

定理2表明，当市场需求的规模轻微扰动（在一个较小范围内发生变化）时，需求变化和成本变化两种因素之间存在着一种相互制约作用，原有的生产数量不需要进行调整，只需调整零售价格就能使供应链总利润达到最优.此时，原有的生产数量在突发事件下仍然具有一定的鲁棒性，并且零售价格的调整量只与市场需求有关，而与生产成本无关.当市场需求的规模剧烈扰动时，需同时对生产数量和零售价格进行相应调整才能使供应链总利润达到最优，并且最优的生产数量与市场需求的变化正相关，而最优零售价格与市场需求的变化无关，只与生产成本的变化及违背成本相关.

4突发事件下分散化决策

一体化决策时，为了应对成本及需求同时发生的扰动，供应链的最优策略是选择零售价格p*及订购量Q*，分散化决策时如果供应链成员间签订合约使零售商选择p*及Q*，则分散化的供应链在突发事件下达到了协调，运用收益共享合约协调成本和需求同时扰动的供应链系统.

令S（Q）=λ1（Q-）++λ2（-Q）+，对于任意的收益分配比例φ（0<φ<1），供应商单位产品的批发价格为w（Q）=φ（c+Δc+S（Q）Q）.

定理3当突发事件引起供应链的市场需求和生产成本同时发生变化时，收益共享合约（w，φ，Q）能实现分散化决策供应链的协调，并且能任意分配供应链的最优利润.

证明在收益共享合约（w，φ，Q）下，对任意的收益分配比例φ（0<φ<1），零售商的利润函数为

fr（Q）=φQD+ΔDQ12k-C-ΔC-wQ

=φQD+ΔDQ12k-φ（c+Δc+S（Q）Q）Q

=φ{Q[D+ΔDQ12k-c-Δc]

-λ1（Q-）+-λ2（-Q）+}

=φf（Q）.

零售商的利润为供应链渠道总利润的仿射函数，从而对于零售商而言最优的订货量也为系统的最优订货量Q*，并且可以通过调整收益共享合约参数φ来实现供应链利润在成员间的任意分配，故改进的收益共享合约（w，φ，Q*）能实现突发事件下需求和生产成本同时发生变化时的供应链协调.进一步分析突发事件对供应链的影响，有如下结论：

1）当ΔD=0且Δc=0时，有λ1=λ2=0，此时供应链系统的利润函数为f（Q）=Q[（DQ）12k-c]，w=φc，故收益共享合约（w，φ，Q）也能实现供应链的协调，即改进后的收益共享合约协调机制在突发事件前后都能实现供应链的协调，该收益共享合约具有抗突发事件性[13]；（2）当突发事件只导致生产成本发生变化时，ΔD=0，上述研究得到的结论与文献[10]一致.

5结论

研究了生产成本和需求同时发生扰动时非线性需求供应链的收益共享合约.当市场需求的规模在一较小范围内扰动时，原有的生产策略具有一定的鲁棒性，只需调整零售价格就能应对突发事件；当市场需求的规模变化较大扰动时，需同时对生产数量和零售价格进行调整才能应对突发事件；提出的收益共享合约能有效协调供应链.在风险偏好或信息不对称条件下，考虑供应链对突发事件的协调应对将是下一步研究的方向.

参考文献

[1]Pasternack ALAN. Optimal pricing and returns policies for perishable commodities [J]. Marketing Science， 1985， 4（2）：166-176.

[2]Giannoccaro IIARIA， Pontrandolfo PIERPAOLO. Supply chain coordination by revenue sharing contracts [J].International Journal of Production Economics， 2004， 89（2）：131-139.

[3]Gerchak YIGAL，Yunzheng WANG. Revenuesharing vs wholesale – price contracts in assembly systems with random demand [J].Production and Operation Management，2004，13（1）：23-33.

[4]Cachon GERARD， Lariviere MARTIN. Supply Chain Coordination with Revenue-Sharing Contracts： Strength and Limitations [J]. Management Science， 2005， 51（1）：30-44.

[5]郑惠莉，达庆利. 移动互联网供应链协调机制研究[J].管理科学学报，2005，8（5）：31-37.

[6]陈菊红，郭福利，史成东.需求具有价格敏感性的供应链收益共享契约设计研究[J].中国管理科学，2008，16（3）：78-83.

[7]Gang YU， Xiangtong QI. Disruption Management： Framework， Models and Application. New Jersey， London， Singapore： World Scientific Publisher， 2004.

[8]Chongchao HUANG， Gang YU， Song WANG， et al. Disruption management for supply chain coordination with exponential demand function[J]. Acta Mathematica Scientia，2006， 26B（4）：655-669.

[9]Clausen J， Hansen J， Larsen J. Disruption management [J]. ORΠMS Today， 2001， 28（5）：40-43.

[10]Xiangtong QI. Bard JOUATHAN，Gang YU. Supply chain coordination with demand disruptions[J].Omega， 2004，32（4）：301-312.

[11]Minghui XU， Xiangtong QI， Gong YU， et al. Coordinating dyadic supply chains when production costs are disrupted[J].IIE Transaction， 2006，38（9）：765-775.

[12]Tiaojun XIAO， Xiangtong QI. Price competition， cost and demand disruptions and coordination of a supply chain with one manufacturer and two competing retailers[J].The International Journal of Management Science，2008，36（5）：741-753.

[13]于辉，陈剑，于刚.回购契约下供应链对突发事件的协调应对[J].系统工程理论与实践，2005，12（8）：38-43.

[14]曹二保，赖明勇，李浩.需求和成本同时发生偏差时供应链协调研究[J].工业工程与管理，2010，15（2）：27-31.endprint