三阶三点边值问题3个正解的存在

达佳丽，韩晓玲

（西北师范大学数学与统计学院，兰州730070）

三阶三点边值问题3个正解的存在

达佳丽，韩晓玲*

（西北师范大学数学与统计学院，兰州730070）

运用Avery-Peterson不动点定理，研究了三阶三点边值问题

边值问题；正解；Avery-Peterson不动点定理

文献［1］-［4］研究了不同边值问题正解的存在性，尤其是文献［5］运用了Guo-Krasnoselskii研究了三阶三点边值问题

正解的存在性.

文献［6］运用了Avery-Peterson不动点定理研究一类二阶边值问题

3个正解的存在性.

受文献［5］、［6］的启发，本文利用Avery-Peterson不动点定理［6］研究三阶三点边值问题［5］

3个正解的存在性.这里λ＞0为参数，0＜η＜1， α，β且α，β＞0.本文假设:

（H1）f:［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）连续.

（H2）q:［0，1］→［0，∞）是连续的，且∃t0（η，1），使得q（t0）＞0.

1　预备知识

首先整理一些对主要结果至关重要的引理及定义，可参见文献［5］、［7］.

定义1［7］设E为Banach空间，P⊂E为E中的锥.如果映射φ:P→+非负连续，且满足

则称φ为凹函数.

定义2［7］设E为Banach空间，P⊂E为E中的锥.如果映射φ:P→+非负连续，且满足

则称φ为凸函数.

有唯一解

引理2［5］引理1给出的G（t，s）有如下性质:

引理3［5］设条件（H3）成立并且h:［0，1］→［0，+∞）是连续的，则边值问题的解非负且满足

引理4［5］假设条件（H1）～（H3）成立，则算子T:K→K是全连续的.

本文主要结果的证明基于以下定理的应用.

设φ和θ为定义在P上的非负连续凸函数，φ为定义在P上的非负连续凹函数，ψ为定义在P上的非负连续函数，a、b、c和d为正常数.定义以下集合:

定理1设P为实Banach空间E中的一个锥，φ和θ为定义在P上的非负连续凸函数，φ为定义在P上的非负连续凹函数，ψ为定义在P上的非负连续函数，且满足ψ（kx）≤kψ（x）（0≤k≤1），使得对某些正常数M、d，对所有的，有φ（x）≤ψ（x），‖x‖≤Mφ（x）成立.假设为全连续算子，且存在正数a、b和c，其中a＜b，使得下列条件成立:

（S1）当xP（φ，θ，φ，b，c，d）时，｛xP（φ，θ，φ，b，c，d）:φ（x）＞b｝≠Ø且φ（Tx）＞b；

（S2）当xP（φ，φ，b，d）且θ（Tx）＞c时，φ（Tx）＞b；

（S3）当xR（φ，ψ，a，d）且ψ（x）=a时，0R（φ，ψ，a，d），ψ（Tx）＜a，则T至少有3个不动点x1，x2，，满足φ（xi）≤d（i=1，2，3）；b＜φ（x1）；a＜ψ（x2），φ（x2）＜b；ψ（x3）＜a.

2　主要结果

定理2假设条件（H1）～（H3）、（A1）～（A3）成立，则问题（1）至少有3个正解u1，u2，u3，且满足

所以定理1中的条件（S1）成立.

则定理1中的条件（S2）成立.

所以定理1中的条件（S3）成立，因此边值问题（1）至少有3个正解u1，u2，u3，且满足

如果q（t）在t=0，1上奇异，则（H2）被代替:

我们同样有以下定理:

定理3假设条件（H1）、、（H3）、（A1）～（A3）成立，则问题（1）至少有3个正解u1，u2，u3，且满足

［1］Graef J R，Yang B.Positive solutions of a nonlinear third order eigenvalue problem［J］.Dynamic Systems and Applications，2006，15:97-110.

［2］Feng Y Q，Liu S Y.Solvability of a third-order two-point boundary value problem［J］.Applied Mathematics Letters，2005，18:1034-1040.

［3］Amam H.Fixed-point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces［J］.SIAM Review，1976，18:620-709.

［4］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones［M］.New York:Academic Press，1988.

［5］Feng X F，Feng H Y，Bai D L.Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem［J］.Applied Mathematics and Computation，2013，219:9783-9790.

［6］白占兵，孙苏菁.一类二阶边值问题三个正解的存在

性［J］.山东科技大学学报:自然科学版，2007，26（5）: 87-90.

Bai Z B，Sun S J.The existence of triple positive solution of some second-order boundary value problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，26（5）:87-90.

［7］Du Z J，Ge W G，Lin X J.Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary value problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Application，2004，294:104-122.

【中文责编：庄晓琼英文责编：肖菁】

Existence of Three Positive Solutions for a Third-Order Three-Point Boundary Value Problem

Da Jiali，Han Xiaoling*
（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Existence of positive solutions to the following third-order three-point boundary value problem is considered，the main tool is Avery-Peterson fixed point theorem.Where f:［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）is continous，λ＞0 is a parameter，0＜η＜1，α，β，and α，β＞0.

boundary value problem；positive solution；Avery-Peterson fixed point theorem

O175.8

A

1000-5463（2015）03-0148-03

2014-11-20《华南师范大学学报（自然科学版）》网址:http://journal.scnu.edu.cn/n

国家自然科学基金项目（11101335）

韩晓玲，教授，Email:335855313@qq.com.

3个正解存在的充分条件，其中f：［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）连续，λ＞0为参数，0＜η＜1，α，β且α，β＞0.