利用面积法求有关线段的长

☉江苏省泰州市第二中学附属初中曹文喜　汪　艳

利用面积法求有关线段的长

☉江苏省泰州市第二中学附属初中曹文喜汪艳

面积法就是通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化，而使问题得到解决的方法.对三角形而言，就是指利用三角形的面积自身相等的性质，或根据等高（底）的两个三角形的面积之比等于对应底边（对应高）的比的性质等进行解题的一种方法.利用面积法解题具有便捷、快速的特点，它是中学数学中一种常见的解题方法.现举例如下.

一、利用三角形的面积自身相等的性质求线段的长

问题1：已知等腰△ABC中，AB=AC=10，底边BC上的高AD=8，求腰AC上的高BE的长.

图1

分析：如图1，由勾股定理可得DC= 6，根据等腰三角形的“三线合一”的性质得到BC=12，利用△ABC自身的面积相等的性质得：BC·AD=AC·BE，这样很快就求得BE=9.6.

图2

变式1：如图2，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AD=4，BC=6，AC=5，点P是AB边上的一点，且△PBD是以BP为底的等腰三角形，求线段AP的长.

分析：过D作DH⊥AB，垂足为H，因为AC2=AD2+CD2，所以∠ADC=90°，即AD⊥BC.

根据等腰三角形的“三线合一”的性质，得到PH= HB，所以PB=，所以线段AP的长为.

总结：运用面积法，需要借助等腰三角形的“三线合一”的性质和勾股定理，这样才能利用三角形的面积自身相等的性质求出有关线段的长.

变式2：如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，CE与AD交于H，已知EH=EB=3，AE=4，求AD的长.

图3

在Rt△AEH和Rt△CEB中，因为EH=EB，所以可证得Rt△AEH≌Rt△CEB，所以CE=AE=4，CB=AH=5.

总结：运用面积法，需要利用三角形全等求出有关线段的长，这样才能很便利地利用三角形的面积自身相等的性质解题.

变式3：如图4，已知在△ABC中，BC=10，底边BC上的高为AD，∠A=45°，AD⊥BC，垂足为D，且BD=6，BE⊥AC，垂足为E，BE交AD于O，求O点到AB的距离.

图4

分析：这是一道难度较大的综合题，过O作OH⊥AB，垂足为H，则OH的长就是O点到AB的距离.根据三角形的面积自身相等的性质，如果我们能够求出AO、AB的长，那么我们就可以求出OH的长.因为∠A=45°，BE⊥AC，所以AE=BE.易得△AOE≌△BCE，所以OA=BC=10.

总结：运用面积法，需要根据题目所给的特殊条件，运用相似三角形和全等三角形的性质，这样才能利用面积法求出有关线段的长.

拓展1：求证矩形一边上的任意一点到两对角线的距离之和为定值.

图5

如图5，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，P为AD边上的任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD，求证：PE+PF的长为定值.

分析：在矩形ABCD中由AB=m，BC=n，可得对角线AC=BD=，连接OP，则可把△AOD拆分成△AOP和△ODP，这样△AOD的面积就等于△AOP的面积和△ODP的面积的和，作OH⊥AD，根据△AOD自身的面积相等的性质可得：AD·OH，所以PE+PF=即PE+PF的长为定值.

总结：这是一道以矩形为背景的题，其本质也是利用三角形自身的面积相等的性质解题，只是将三角形拆成便于求解面积的两个小三角形而已.

拓展2：如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OC=6，OA=8，将矩形OABC沿AC翻折，点B正好落在点D处，求D点的纵坐标.

图6

分析：过点D作DH⊥x轴，垂足为H.设OE的长为x，则AE的长为（8-x）.

由题意可知∠BCA=∠ACD，∠BCA=∠OAC，所以∠ACD=∠OAC，所以EC=EA=8-x.

在△OEC中，（8-x）2=62+x2，解得x=.

总结：这是一道将矩形置于平面直角坐标系中的问题，可以先根据勾股定理和全等三角形的性质求出有关线段的长，再利用三角形的面积相等得到所要求的解.

拓展3：如图7，四边形ABCD是菱形，连接对角线AC，过点D作DH⊥AB于H，交AC于点M，CD=，对角线AC=10，求DH和MB的长.

分析：连接BD交AC于O，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AC、BD互相垂直平分，所以AO=5.

图7

根据对称性可得MD=MB.

总结：这是一道以菱形为背景的题，可以根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，再利用面积相等法解之.

拓展4：如图8，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF∶FD=4∶3，DE=10.求线段ME的长.

图8

图9

分析：如图9，连接DM，则DM⊥AE.

由AD是△ABC的角平分线，得∠1=∠2.

又∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，则∠ADE=∠DAE，则ED=EA=10.

由ED为⊙O的直径，得∠DFE=90°，则EF⊥AD，则点F是AD的中点，故FD=FA.

总结：这是一道有关圆的综合题，利用直径所对的圆周角是直角，这样就得到了三角形的高，从而很自然地想到了运用面积法求之.

二、根据等高（底）的两个三角形的面积之比等于对应底边（对应高）的比的性质等进行解题

问题2：如图10，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=7，AC=6，过C作CE⊥CA，交AB的延长线于E，AD是∠BAC的平分线，过B作BP∥EC，交AD于P，连接CP，过B作BF∥PC，交AC的延长线于F，求线段CF的长.

分析：在Rt△ECA中，由∠BAC= 60°，得∠E=30°，所以AE=12，所以BE=5.

图10

由于点P在∠BAC的平分线上，而BE、CF同时在这个角的两边上，所以P到BE、CF的距离相等，即△PBE与△PCF的两条高相等.

由CE∥PB，可得S△PBE=S△PBC.

同理S△PCF=S△PBC.则S△PBE=S△PCF，进而可以求出CF=BE= 5.

总结：根据等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比的性质，可以通过证明等高的两个三角形的面积相等，证得对应的底边相等，从而求得有关线段的长.

变式：如图11，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，AF∥EB交CB于F，AG∥DC交BC于G，如果BF= 5，求线段CG的长.

图11

分析：通过观察图形，连接EF、DG.

由于△EBF和△DCG是等高的两个三角形，要证BF= CG，只要证明S△EBF=S△DCG.

由AF∥EB，可得S△EBF=S△ABE同理，S△ADC=S△GCD.

由DE∥BC，得S△BDE=S△CDE.同加上S△ADE，可得S△ABE= S△ACD.

所以得到S△EBF=S△DCG，根据如果等高的两个三角形的面积相等，那么它们对应的底边相等，可得到线段CG=5.

总结：此题更一般化，根据平行线间的距离处处相等，先得出同底的两个三角形的面积相等，再利用等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比的性质，通过证明等高的两个三角形的面积相等，证得对应的底边相等，从而求得有关线段的长.

总之，面积法是一种重要的解题方法，借助面积法可以把几何问题中的线段关系或其他量与量的关系转化为面积关系来解决，从而起到化繁为简、化难为易的作用.

1.彭翕成，张景中.仁者无敌面积法［M］.上海：上海教育出版社，2011.