基于自适应采样的复杂曲面抛磨轨迹生成算法及其性能对比*

向 丹

（广东技术师范学院自动化学院，广州 510635）

基于自适应采样的复杂曲面抛磨轨迹生成算法及其性能对比*

向 丹

（广东技术师范学院自动化学院，广州 510635）

针对抛磨机器人面向复杂曲面加工运动轨迹规划困难，不能随曲率自适应采样所导致的轨迹规划精度不高等问题，提出了一种基于自适应采样的NURBS曲面抛磨轨迹生成算法，首先针对已建立的CAD模型进行自由曲面数据点提取，并建立了求取一条P次NURBS曲线数学模型，其次，针对得到的NURBS曲线进行基于杠杆原理的曲线自适应采样离散，最后，自动生成机器人抛磨连续轨迹。算法性能对比实验表明：文章自适应采样算法能在曲线曲率大处小间距采样，采样点分布密集，而在曲率平缓处大间距采样，采样点分布较稀疏，达到了采样点随曲率自适应分布的效果，同时，自适应采样算法的拟合曲线与理论曲线接近，生成轨迹精度高。

复杂曲面；抛磨机器人；NURBS曲线；自适应采样

0 引言

在产品加工制造过程中，抛磨是一道重要的工序，直接影响产品的外观和质量。随着数控加工技术和CAD/CAM技术不断成熟以及工业机器人的广泛应用，抛磨机器人逐步代替了传统人工抛磨作业［1-2］。而机器人要完成所规定的抛光任务都必须进行轨迹规划，其轨迹规划是轨迹跟踪控制的基础，也是机器人作业质量好坏的关链［3-5］。传统的运动轨迹规划是采用在线编程人工示教的方法，但是这种方法无法完成复杂曲面加工，同时还存在在线编程加工精度低，示教耗时长难度大，使用不够灵活等缺点，目前常用的运动轨迹规划一般是采用离线编程的方法，通过导入计算机内的CAD模型，生成示教数据，间接地对机器人进行示教，不但求取轨迹精度高，编程时间短，而且还可以完成复杂曲面运动轨迹规划［6］。常用的离线编程方法主要有：参数法［7］、截面线法［8］、导动面法［9］等，这些方法对较为简单的运动轨迹具有显著性，特别适用于曲率平坦的区域，在面对曲率变化剧烈的区域时，由于其采样的均匀性不能随着曲率的变化而自适应分布，所以，导致轨迹规划精度不高。

针对抛磨机器人面向复杂曲面加工运动轨迹规划困难，不能随曲率自适应采样所导致的轨迹规划精度不高等问题，提出了一种基于自适应采样的NURBS曲面抛磨轨迹生成算法，首先针对已建立的CAD模型进行自由曲面数据点提取，并建立了求取一条P次NURBS曲线数学模型，其次，针对得到的NURBS曲线进行基于杠杆原理的曲线自适应采样离散，最后，自动生成机器人抛磨连续轨迹。同时为了比较本文自适应采样算法优越性，与常用的等参数采样算法、等弧长采样算法进行了性能对比实验。

1 截交线数学模型建立

1.1 自由曲面数据点提取

针对已建立的CAD模型，首先，利用截平面法切割复杂曲面得到一系列的截交线，如图1所示，该截交线即为机器人抛磨轨迹，由于截平面间的距离及抛磨走刀步长难以控制，易造成刀具在曲面平坦处加工密集，在陡峭处加工稀疏，从而导致加工精度不高，为此，使用系统提供的STL文件提取一系列离散理论坐标点，设从每条截交线离散得到的数据坐标点集合为该离散坐标点是为后续NURBS曲线拟合做准备。

图1 截面法生成轨迹

1.2 一条P次NURBS曲线求解

在把离散点拟合成NURBS曲线时，首先要指定这些离散点一一对应的节点参数值，使之有序组合成节点矢量，其次将离散数据点和节点矢量代入NURBS曲线定义公式，求解出控制点，最后将控制点、曲线拟合次数及节点矢量再代入NURBS曲线定义公式中，即可得到NURBS曲线。

（1）一条P次NURBS曲线定义［10］：

一条P次NURBS曲线可以由多边形控制顶点来定义，由分段有理多项式矢函数表示：

其中，di为控制顶点，wi为权因子且wi＞0，wi的大小影响着曲线的形状，在本文中令wi=1，Ni，p（u）为β样条基函数，是由节点矢量U=按Cox-De Boor递推公式得出，表示如下：

根据上述定义，k=P就是一条P次NURBS曲线表达式。

（2）节点矢量计算：

设每相邻两点之间的连线成为一条弦，令每条截交线构成的弦长之和为L，利用弦长参数法求取，于是有：

（3）控制点反算：

从式（6）可以看出，系数矩阵中的元素全部是样条的基函数并且这些基函数的值只与节点值有关系，由此可以反算求解出曲线拟合所需的所有控制点dn。

最终，把控制点dn、曲线拟合次数P及节点矢量U再代入式（1），则得到一条P次NURBS曲线。

2 基于杠杆原理的曲线自适应采样离散

抛磨触点的分布情况影响着机器人的加工路径，决定着加工精度及效率，为了得到合理的抛磨触点，本文采用基于杠杆原理的采样处理处理方法对拟合生成的曲线进行离散化。把曲线上各处的曲率函数K（μ）看作是各质点的质量，质量越大越靠近支点，质量越小越远离支点，则曲线曲率大的地方密集采样，曲率小的地方稀疏采样。

（1）NURBS曲率计算：

（2）杠杆原理采样：

C（u）为反应曲线弯曲程度的特征函数，其值越大，曲面越弯曲，所需的采样也就越多，其计算公式为：

将曲线上各处的曲率函数K（u）看做是各个质点的质量，当系统达到平衡时有：

该式即为NURBS曲率的平衡公式，其中，ui为第i个采样点，也是系统平衡支点，uij为第i个采样点的去心邻域内的任意点。

对式（9）进行处理得：

可通过如下迭代求解：

迭代终止条件为：

其中，s为迭代次数，ε为给定精度。

3 算法实现及其性能对比

3.1 算法实现

根据以上所述，可知利用机器人对复杂曲面进行抛磨加工时，运动轨迹自动生成算法流程如图2所示。

图2 本文算法流程图

3.2 算例及其性能对比

利用上述算法，针对如下任意曲面，生成的抛磨轨迹如下图3所示。

图3 任意复杂曲面及其抛磨轨迹

为了比较本文自适应采样算法优越性，与常用的等参数采样算法、等弧长采样算法进行了性能对比实验。等参数采样算法采样如图4所示，等弧长采样算法采样如图5所示，自适应采样算法采样如图6所示。

图4 等参数采样

图5 等弧长采样

图6 自适应采样

从图4、图5、图6可看出，自适应采样算法采样点较之其他算法在曲线曲率大处采样间距最小，分布较密，而在曲率平缓处分布较稀疏，达到了采样点随曲率自适应分布的效果，说明采用自适应采样算法得到的采样点，能更好的突出曲线的特征，更准确的反映复杂曲面抛磨加工轨迹信息。

图7 三种采样点的NURBS拟合曲线与理论曲线对比

法能更高精度的逼近理论曲线，于是对上述三种方算采样到的10个离散点进行NURBS曲线拟合处理，如图7所示。

从图7可知，自适应采样拟合曲线与理论曲线最接近，优于参数采样算法和等弧长采样算法，进一步地说明了自适应采样算法生成轨迹精度较之其他算法生成精度更高。

5 结论

（1）本文提出了基于自适应采样的NURBS曲面轨迹生成算法，首先，针对已建立的CAD模型进行自由曲面数据点提取，并建立了求取一条P次NURBS曲线数学模型，其次，针对得到的NURBS曲线进行基于杠杆原理的曲线自适应采样离散，最后，自动生成机器人抛磨连续轨迹。

（2）算法性能对比实验表明：本文自适应采样算法能在曲线曲率大处小间距采样，采样点分布密集，而在曲率平缓处大间距采样，采样点分布较稀疏，达到了采样点随曲率自适应分布的效果，同时，自适应采样算法的拟合曲线与理论曲线接近，生成轨迹精度高。

［1］徐海黎，解祥荣，庄健，等.工业机器人的最优时间与最优能量轨迹规划［J］.机械工程学报，2010，46（9）：19-25.

［2］韩光超，孙明.基于轨迹控制的机器人抛光工艺［J］.华中科技大学学报（自然科学版），2009，37（2）：75-77.

［3］周炜，廖文和，田威.基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验［J］.机械工程学报，2013，49（3）：42-48.

［4］王引，仇晓黎，刘明灯，等.基于NC代码的工业机器人加工轨迹规划研究［J］.组合机床与自动化加工技术，2012（8）：14-17.

［5］成贤锴，顾国刚，陈琦，等.基于样条插值算法的工业机器人轨迹规划研究［J］.组合机床与自动化加工技术，2014（11）：122-124.

［6］宋鹏飞，和瑞林，苗金钟，等.基于Solidworks的工业机器人离线编程系统［J］.制造业自动化，2013，35（5）：1-4.

［7］陈满意，刘玉慧.基于形状特征的自由曲面采样算法的研究［J］.机械设计与制造，2011（3）：195-197.

［8］刘威，周来水，安鲁陵.截面线等误差步长法计算点云刀具路径规划［J］.机械科学与技术，2013，32（6）：824-828.

［9］钟建琳，刘忠和，杨庆东.空间自由曲面五轴联动数控加工［J］.机械设计与制造，2011（9）：129-131.

［10］玄冠涛，邵园园，吕钊钦，等.基于NURBS的空间分度凸轮廓面重构与仿真［J］.农业机械学报，2012，43（6）：226-234.

（编辑 赵蓉）

Trajectory Generation Algorithm and its Performance Comparison for Complex Curved Surface Polishing Based on Adaptive Sampling

XIANG Dan
（College of Automation，Guangdong Polytechnic Normal University，Guangzhou 510635，China）

According to the problem about complex surface machining movement trajectory difficulty and trajectory planning not with precision curvature adaptive sampling to cause is nothigher，The paper put forward a trajectory generation algorithm for NURBS surface based on adaptive sampling.Firstly，established CAD model free surface data points are extracted，and the establishment of seeking a P mathematical model of NURBS，secondly，according to the NURBS curves obtained curve based on discrete adaptive lever principle，finally，the automatic generation of robot polishing continuous path.Experiments indicate that：the performance comparison algorithm of adaptive sampling algorithm can sample in curvature at small distance sampling distribution，dense，and curvature in the gentle place large space sampling，the sampling points are sparsely distributed，reach the effect，sampling point with curvature adaptive distribution at the same time，fitting curve and theoretical curve of adaptive sampling algorithms to generate near，trajectory precision is high.

complex curved surface；polishing robot；NURBS curve；adaptive sampling

TH16；TG506

A

1001-2265（2015）06-0017-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.005

2015-02-02；

2015-03-05

2014年广东省特色创新项目（自然科学类）（2014KTSCX146）；广东省教育厅科技创新项目（2013KJCX0121）；2013广东优秀青年教师培养计划资金资助（Yq2013110）

向丹（1980—），女，湖北宜昌人，广东技术师范学院副教授，博士，主要从事机电一体化方面的教学与科研工作，（E-mail）gzhbrxd@ 163.com。