应用极端原理解决与圆有关的中考最值问题

☉浙江省宁波市鄞州实验中学　蔡卫兵

应用极端原理解决与圆有关的中考最值问题

☉浙江省宁波市鄞州实验中学蔡卫兵

中考压轴题中频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策，望而生畏.其实与圆有关的中考最值问题大多由动点而产生，找出动点（相应动线）的极端位置，常常能确定最值.因为许多事物的性质和矛盾，最容易在其临界情况和极端状态下体现和暴露出来，所以在解决数学问题时，常常利用极端、临界的元素为“突破口”，进行探索、推理论证，使“变动”转化为“确定”，从而分散问题的难点使问题得到解决.2014年各地的中考试题有许多圆的知识与最值问题综合起来考查，我们可以采取“谋定而后动”的策略，先将问题引向极端，考查“特殊位置”、“特殊图形”，进而简化解题，提高解题速度.本文试图通过几道中考压轴题介绍极端性原理在解与圆有关的中考最值问题中的具体运用，供参考.

一、“连心线与圆的交点”为“到圆上动点距离之最值”的极端位置

例1如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________.

图1

图2

解析：因为M是AD边的中点，A′M=AM=1，所以点A′在以M为圆心，1为半径的圆上，因此连接CM，当点A′落在CM上时A′C的长度最小.如图2，过M点作MH⊥CD交CD的延长线于点H，则由已知可得，在Rt△DHM中，DM= 1，∠HDM=60°，所以HD=

例2如图3，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动.连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，试求出线段CP的最小值.

解析：由于点E、F的移动速度相同，可得△EAD≌△FDC，所以∠EAD=∠FDC；因为∠FDC+∠FDA= 90°，所以∠EAD+∠PDA=90°，因此点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，如图4，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC=

图3

图4

例3如图5，∠BAC=60°，半径为1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为__________.

图5

图6

二、“弧的中点”为“圆上动点到定线距离之最值”的极端位置

例4如图7，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________.

图7

图8

解析：过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图8，因为∠AMB=45°，所以∠AOB=2∠AMB=90°，所以△OAB为等腰直角三角形，所以AB=

因为S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，所以当M点到AB的距离最大时，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=

例5如图9，已知在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边的中点，P在过A、E、D三点的圆上，则△APE面积的最大值是_________.

图9

图10

解析：设圆心为O，由垂径定理得，点P在AE的垂直平分线上时，点P到AE的距离最大，△APE面积的最大，过点E作EF⊥AD于点F，连接AO，如图10，设圆的半径为r.因为点E是BC的中点，所以BE=4.在Rt△AOF中，AO2= AF2+OF2，即r2=42+（8-r）2，解得r=5.在Rt△ABE中，AE=，设PO与AE的交点为G，则.在Rt△AOG中，OG=，所以PG=5+.所以△APE的最大面积

三、“切线切点”为“有关角度之最值”的极端位置

例6在平面直角坐标系中，点A（2，0），以A为圆心，1为半径作⊙A，若P（x，y）是⊙A上任意一点，则的最大值为_________.

图11

例7我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图12，在平面直角坐标系中，已知点D（0，4），E（0，1）.点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G的坐标.

解析：经过点D、E的⊙P，根据圆内角、圆周角、圆外角三者的关系，当⊙P与x轴相切于点G时，视角∠DGE最大.由垂径定理得，点P在DE的垂直平分线上；由切线性质得，点P在过点G且与x轴垂直的直线上，所以PE=PG=

图12