论数学学习的经验性思维

韩云桥

（广州市第五中学，广东 广州 510220）

数学的学习过程与事物的发展过程一样，都是矛盾的结果.学生学习数学的内部矛盾是学生原有认知水平与新的课程内容知识[1]之间的矛盾，这里的原有认知水平就是已形成的学习数学的经验，这个经验既含有对具体知识的掌握，又包括感悟具体知识所获得的方法认识.原有认识水平对于新学习的需要就是学习意义上的经验性思维成果.

1 经验性思维含义

数学学习中，新经验要获得意义需要以原有数学活动经验为基础，同时新经验的进入又会使原有经验发生一定的改变，使它得到丰富、调整或改造[2]，建构更加完善、合理的经验性思维.因此经验性思维是一种学习认识方式在过去信息合乎逻辑的“记忆”，指掌握了必备的数学基础，能用已掌握的知识解决数学问题所形成的、随时可以取用的、符合个体特色的、具有个体学习意义的思维模式.经验性思维是实践活动的直接产物，是通过经验的积累、分类与组织，对某一确定后的特定情境，寻找和选择一种过去使之成功的行动方式过程.其主要特点是随着同类经验思维的不断增加，可以转化为对过去曾经的活动实践的及时反射，明确对新的实践活动的判断和行为方式的选择，从而有效地提高选择最佳决策方案的能力，缩短从认识到实践这一转化的过程.

经验性思维是以“三基”（基本知识、基本技能、基本数学方法）为载体[3]，在认识的积累中构建的数学活动经验.一般来说，学生在学习过程中获得的数学活动经验就是学生头脑里过去成功（否则随实践的积累，不成功的经验就能得到加工与修复，从而让具体经验普遍化）的认知策略，这种策略对掌握数学内部各种关系，进行判断、推理、综合、概括起着奠基和发展的作用，对稳定数学学习兴趣，增强学习信念和元认知能力发挥重要作用.

系统化知识和数学理论凝聚着人类认识活动所特有的思维经验，任何有意义的认识都是按照一定的记忆规则加以系统化的，体现着思维逻辑的一般规则.掌握它们，就意味着获得了一定水平的经验性思维.原有经验的获得过程，是知识掌握和思维方法形成的认识体验，这种获得过程相应地发展成为一种形式化的技巧[4]，表现为对外部现象的察觉程度，并产生直接的“感知”，这种感知含有原始的、经验的成分[5].

2 数学经验性思维产生的动力

2.1 思维的本能

从广义上讲，每一种存在，都有“思维”，因为它们都有一种对客观世界信息的“记忆”，以及对这些信息做出合乎“逻辑”的反应.思维本身具有相亲性，这是因为不同的规律反映着不同的记忆.人总是对自己喜欢的事或现象进行思考，而对不感兴趣的事或现象不怎么关心，其原因就是思维的相亲性.正是思维的相亲性，才使人的思维保持着经验的东西，一旦面临相同或相似的环境，就能从思维的记忆中找到和发现解决问题的对策.

2.2 思维的概括

人的思维总是把共性的事或现象进行分析比较，揭示它们的规律，这就是思维的概括.数学思维具有对数学对象及其关系的概括水平，凡属于能够被概括的事或现象它们都具有外延的相似性，于是数学思维就自然会逻辑地反映“记忆”了，其实这种记忆就是所形成的数学活动经验，是具有稳定智力模式的经验性思维.数学思维对那些已形成记忆的固有特征是敏感的，唤醒记忆的条件是环境.一般情况下，在环境相似情况下，思维往往就会被激活，并参与解决问题.当然有时这种智力模式会失效，这就是心理学上所讲的定势思维.定势思维作为一种特殊的心理准备状态，在条件相似的情况下，可以简化思维程序，有利于迅速解决问题.但当环境发生了变化，它将成为一种僵化的思维模式而影响解决问题.数学经验性思维必须摆脱思维的主观随意特点，要善于分析问题环境，让思维在现实的逻辑中运转，通过对现实的观察，来修正思维的定势状态.

3 数学经验性思维的迁移

经验是按照事实原样而感知到的内容，而数学活动经验的构建要依托于先前的知识和活动方式，是先前数学活动经过一级或多级抽象的产物，也就是积累的开展数学活动的一种或几种基本策略、基本模式和基本方法[6].

3.1 把握具体事物现象产生迁移

经验不仅是由“具体上升到抽象”的基础，而且是由“抽象到具体”的必要中介.当数学新信息刺激时，经验性思维就会自觉对已有的知识和经验过的方式进行过滤、外化，以找出与新信息有联系的知识和活动方式，这是思维的选择；在没有外来环境的影响下，经验系统是静态地隐藏于数学知识体系和活动规则之中，当经验系统被外界打破，经验的活动方式就会展开，随之就会用选择的知识和活动方式去说明、解释和容纳这个外来的信息，这是思维的同化；如果原有认识不能接受新信息，经验系统就会对原有思维结构进行改造，实现与新信息的同化，这是思维的顺应；容纳新的信息后，主体会从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，这是思维的预见[7]；最后形成对数学事实的判断和描述.这就是经验性思维在具体数学活动中所表现的迁移.

案例1：求过P(1, 2)与双曲线x2−=1有且只有一个公共点的直线方程.

直线与双曲线相交最直接的经验就是联立直线与双曲线方程进行消元，转化为关于x或y的“二次”方程，然后用判别式Δ=0求解（思维的选择）；根据这个想法，设直线方程为y−2=k(x−1)，联立双曲线方程整理得：(4−k2)x2−2kx(2−k)−(2−k)2−4=0…①，（思维的同化）；该方程有相等实根，

然而这样的k值不存在.是不是已知问题是一个错误命题，引发思维冲突，通过反思经验系统的情境，对比“问题原型”，发现在思维活动中存在两个问题，一是忽视直线斜率的存在性；二是忽视判别式适应条件.这就使思维在新情境中获得了更丰富的内涵（思维的顺应）.当斜率不存在时，过P点的直线方程为x=1，符合题目要求；若方程①是一元二次方程，则4−k2≠0，此时方程②无解.是否过P点的直线与双曲线不存在切线？给思维经验呈现了反思的条件，然而从几何分析中，这条切线方程恰是x=1，而且可以看到还有一条直线与渐近线平行（思维的预见）.如何求出这条直线？在心理内部对已有的思考进行反省，联想到一次方程存在解的情境，只需使4−k2=0，此时方程①存在解，于是得到k=−2.所以满足条件的直线有两条是x=1或y=−2x+4.

在此题数学活动过程中，依靠对过去经验的加工和不断改造来同化特殊情境呈现的信息，其中体现了原有经验的改造并发生迁移的效果.数学经验性思维就是在承受“选择、同化、顺应、预见”的这种往返动作过程中所完成的结果，从而形成更为完善的经验性思维.

3.2 把握具体事物本源产生迁移

心理学的研究表明，各种知识对人的大脑皮层的影响更多的是相似因素的作用，给迁移提供了广阔的空间，相似因素越多，迁移力就越强.数学问题的学习常常以“新的认识”为主要内容，而“新”的特征就容易引起学习中的认知冲突，解决的方法就是把新的知识和方法分解为“旧”的认识，回到自身经验中分析，就是对所经历的活动进行分析思考[8]，通过对信息的转换来获得新经验，构建思维活动的意义.

案例2：已知函数y=lg(x2+ax+2)，在下面两种条件下，求实数a的取值范围.（1）值域是全体实数；（2）定义域是全体实数.

问题给出的信息能够直接反身联想到对数函数的定义和图象，对于函数y=lgx，如果定义域是{x|x＞0}，则值域就是R，于是第（1）问只需x2+ax+2＞0即可，这是学生以自己的经验、信念对新情境分析而形成的判断；第（2）问需考虑x2+ax+2＞0在R上恒成立.

数学活动经验的这种迁移是符合认识规律的，在理解、运用新信息过程中，都需要回到自身经验中对所经历的活动进行分析思考，实际上是学习活动中被重复运用的某种“联结”，即返回到事物的原型上去实现思维的迁移.

3.3 把握具体事物特征产生迁移

知识的掌握和技能的形成，都需要经历某些特殊环境下的数学实践活动过程，这一过程（由感性经验过渡到理性思维）往往需要通过运用已有经验来构建“新”经验的意义.

案例3：（1）A=

在问题（1）中，已有获得经验是，先求集合A={x|x＜−2或x≥1}，随之得到CRA={x|−2≤x<1}.

但这一方法不适应问题（2），但可根据问题（1）的特征，转化为求不等式＜0的解集，得到集合CRA={x|−2

事实上CRA=于是问题（2）可以运用新经验的意义来解决.即∪{a|2−a=0}.

根据事物特征对原有经验进行改造和修复是经验性思维方式“再发现”的一种迁移.正如弗赖登塔尔在《数学教育再探——在中国的讲学》（刘意竹，杨刚译.上海教育出版社，1999）一书中所指出的：“通过个人的学习经验了解个人的学习过程，通过概括了解一般人的学习过程，通过历史了解人类的学习过程”[9]，即在特殊的学习活动中增强经验普遍化意义.

4 构建经验性思维的教学策略

4.1 营造数学活动情境并揭示数学知识内在的思维因素

数学基本概念、命题是数学的核心实体——教学内容知识[10]，掌握知识就是把知识形成的原因、背景以及思维的价值弄清楚，构建属于自己的知识系统——学生水平知识.

揭示数学知识的内在思维因素，需要营造数学活动情境，一般通过“基本知识的掌握——练习获得基本技能——通过反思获得基本数学思想方法”[3]3个过程，让学生在整个学习过程中收获数学基本经验.首先要引导学生充分感知，通过观察、鉴赏等，激发保存的“记忆”对知识进行识别、比较、概括，并在教师的指导下，探析知识的背景和意义.其次在训练中内化，在特定环境下获得基本技能.最后通过变式，体验知识的思辨性，从而获得基本数学活动经验.

案例4：复数概念的教学.这一内容由于学生没有过去的活动经验必然会出现理解上的障碍，教学中要从学生已有的实数“记忆”上着手.在实数集中，x2−2=0是有实际背景的[11]，即单位正方形对角线长度.但x2+1=0的背景是什么呢？如果直接按实数法则给出：x=，那么知识存在的思维环境就是个伪环境.此时教师可引入卡当方程作为背景呈现.卡当问题：如何将10分成两数，使这两数之积为40，即求方程x(10−x)=40的根，这个方程没有实数解，但5±确实满足原方程，负数开平方在实数集里不能表示，说明实数集不够用，因而引进虚数单位i=.教学过程中，同时结合由自然数集扩充到实数集的过程和基本的数学练习，形成新知识意义的建构，让学习结果产生“新”的“意义上的理解”.

揭示知识内在思维因素还可利用数学文化、数学历史、数学演绎结构给学生呈现真实背景，使学生的学习过程变得充实有效，学生则能不断转化和修正教师所提供的信息，以一种具有个人特点的、有意义的方式来获得知识的意义，形成具有鲜明个性特点的经验性思维.

4.2 呈现知识的特殊表现活动并揭示数学关系的内在思维因素

数学命题、原理尽管各自独立，生成的环境也有所区别，但它们所表现的思维活动是相似的.数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法.加强数学对象内在联系的理解，要特别注意用知识的特殊表现活动来揭示各种关系的性质特征，让学生充分感知、获得数学活动经验.教学中用质疑的方法来揭示数学内在关系具有很好的效果.

案例5：几何证明选讲中，关键有4个定理，即相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理.在圆O中，设弦AB与CD相交于P，通过对P点位置的变化，来建立这4个定理之间联系.P点的特殊表现方式决定了这4个定理的内在联系：当点P在圆内时，就是相交弦定理；当点P运动在圆外时，就是割线定理；当点P在圆外，且让弦CD缩小为一个点（C、D重合）时，就是切割线定理；既使弦CD缩小为一个点，同时又使弦AB缩小为一个点（A、B重合）时，就是切线长定理.通过这样的情境设计（借助电脑演示），有目的地对P点的特殊位置进行比较、质疑，让学生真正感受到知识特殊的表现活动，提高对知识理解、掌握的效果.让学生在真实的数学活动中体验，亲历感受到知识特殊的表现活力，既能快速掌握这些定理在特定环境下的应用，又能迁移掌握这些定理在变化环境中的应用，更能辐射到掌握其它知识的学习环境中，增长经验对环境的调控能力.在这个比较、质疑的过程中，包含了基本知识、基本技能、基本数学方法和基本数学活动经验的积累，把知识、技能、活动经验结合成块，通过必要的解题活动获得经验，不断地将之提升为数学思想方法，形成一个“四基”数学模块.

数学教学中要培养学生“有条件的质疑精神，让学生认识到理性不是万能的”[12].比较、质疑作为一种特殊的活动，是师生之间的双边活动和情感活动，它既有预设性，也有生成性，能够提升学生先前知识和经验的整合效果.同时质疑也体现了“追问思想”，能够调动知觉的胃口、激发思维活动，刺激语言形成，促进思维的深刻反思，拉近与学生经验的距离，增强学生回忆经验的表象，更准确理解知识的特殊表现活动.

4.3 呈现真实的描画模拟活动并揭示知识应用的思维价值

数学应用客观反映了数学描述实践活动的功能，把原本从生产实践或已有经验中获得的数学关系重新回归到具体实践活动中去，用典型问题对数学关系或模型进行包装，组织这种问题的教学就是数学应用教学.

如函数的应用是高中数学教学中一个重要内容，这是因为“世间万物皆是不断变化的，…，如何表述各种现象的变化规律？如何预测其变化趋势？反映这些客观现象的主要模型就是函数”[13]，函数应用教学中，组织的具体问题尽管多样，对现实的描述各不相同，但分析的思维程序是相似的，这为思维的有序活动提供了方向和动力.在数学学习中，特别要关注把已掌握的知识从多种角度应用到解决具体的数学问题.

案例6：已知函数f(x)=在(2, 3)上不单调，求实数k的范围.

该问题可转化为研究导函数f′(x)=在(2, 3)上不单调，有两种情况：

在(2, 3)上连续，则f′(x)=0有根，即f′(2)f′(3)＜0，得−2＜k＜ −1；在(2, 3)上间断，由x+k=0及2＜x＜3，得k∈(−3,−2).所以k的取值范围是k∈(−3,−2)∪(−2,−1).

此问题是从另一个角度描画知识的应用并用来反映知识应用的思维价值，通常情况下，是研究函数的单调性（在某区间上单调、求单调区间），对于某函数在给定区间上不单调，学生基本上没有这方面活动经验，这一角度知识的应用更能促进学生经验的增长.显然，这一应用“过程”是一种新旧经验的“整合”过程，从而帮助学生完成新经验的建构.

数学知识掌握是一个积累过程，这个积累反映了数学思维的成果，也反映了数学经验再创性的本质.数学创造的本质就是在已知的数学事实所可能造成的新组合之中作出正确的选择[14].学生数学学习，其对信息的处理与加工是将自己已经掌握的事实应用于新的情境，通过新旧信息的选择和不断组合寻找解决问题的办法.同时学习主体所关心的不仅仅是信息的利用，且还要建立一种用于辨认经过内外环境过滤的新信息的线索和辨认从记忆中检索出来的与问题要求相吻合的旧信息的线索的模型（经验性思维）.所以数学思维创造性的表现，就在于主体能够从记忆的部分线索中有选择地检索出旧信息以及根据新的情况改变对这个信息的利用，灵活地对记忆中组织好的知识重新解释和建构，其中体现了学生经验性思维应用于新情境的转化能力.数学教学应当让学生不断积累数学活动经验，在问题解决和语言转译的学习活动中，来丰富或改组已有的经验，增加经验的意义并增长指导和控制后来经验进程的能力（杜威）.

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