分形理论及其传热研究现状

武　曈，刘益才，雷斌义

（中南大学 先进储能技术研究所，长沙　410083）

分形理论及其传热研究现状

武曈，刘益才，雷斌义

（中南大学 先进储能技术研究所，长沙410083）

总结了分形理论及其在传热领域的发展过程并探究发展方向。对分形理论进行了简要的介绍，对其重要特征和发展历程予以回顾和展望，以多孔介质、蜂窝结构、分形树杈结构为分类标准，将研究成果进行归纳总结，重点评述其在导热方面的国内外研究现状，以及近些年较为重大的理论或者试验研究成果，并以此为依据提出完善分形理论在传热学领域的应用，能够有效提升换热器换热效率，减少阻力损失，提高设备工作效率并降低成本，是未来的研究和发展方向。

分形结构；传热；多孔介质；蜂巢结构；树形分叉结构；回热器

0　引言

近年来，随着科技的发展，国家对科技产业的支持，生物医学技术、电子技术、航空航天技术等都有了长足的发展进步。其核心部分，如微芯片等，由于集成度高，产热量大，稳定性受温度影响巨大，其散热情况也就成为众多学者的研究对象［1］。另外，由于系统微型化的发展，散热也越来越受到空间条件的限制，传统的强化换热手段已经很难在微小尺度下发挥强化换热的效果。微细通道散热器件在高热流密度下使微系统中的散热成为可能。大量的实验证明，微细通道散热相对于受迫空气对流冷却能够带来更高的散热效率。但是巨大的压力损失却使得该项技术很难在微型装置的狭小空间中使用。

然而，树冠、树干、植物须根、叶脉、人体气管血管网、神经网、河流网、街道网等，都以长期的进化形成了一定的形态，其结构应该是阻力、换热、传质的最优或接近最优的结构，这就是分形构型的起源。根据分形构型的相关理论，以仿生学的思维来指导对回热器等换热装置的改进设计以及热分析，将会有助于设计出换热效果较强、阻力最小的优良换热装置。

1　分形及其特征

分形（Fractal）一词，美籍法国数学家Mandelbrot创造出来，来源于拉丁语“fractus”，其原义是不规则的、分数的、支离破碎的物体，是没有特征长度的图形、构造以及现象的总称。分形几何学（fractal ge⁃ometry）也是由其率先创立的描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规几何对象的数学分支［2］。到1982年Mandelbrot出版了专著The Fractal Geometry of Nature，表明分形理论已初步形成［3］。

对于分形，现在多用描述性定义，需要满足五个条件［4］。

（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说具有精细的结构（无限可分性）；

（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，既不是满足某些条件点的轨迹，也不是某些简单方程的解集；

（3）分形集具有某种自相似性，或严格自相似（称为有规分形）、近似自相似、统计意义下的自相似（称为无规分形）；

（4）一般分形集的分形维数，严格大于相应的拓扑维数；

（5）在大多情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

典型的分形集有：Cantor集、Koch曲线、Sierpin⁃sky集、Julia集和Mandelbrot集等。

1.1分形的重要特征

分形有两个重要的基本特征，是自相似性和分形维数。

（1）自相似性

自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则［5］。自相似性（Self-similarity）是指某一结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统（结构）的局部性质（局部结构）与整体类似。简单地说就是局部形态与整体形态相似，也就是说，外观特征在通常的尺度变换下保持不变，即标度无关性，可解释为无法从某一尺度的图形上判断其标度。值得一提的是，自相似性的复杂在于，并不是某一结构或过程简单地放大缩小并叠加，而是具有统计意义上的相似性。

分形在自然界中的体现有两种方式：规则分形和不规则分形。

规则分形是由人工构造，严格满足自相似性，可以通过无穷递推得到。如Koch雪花曲线如图1所示、Sierpinsky三角形如图2所示。自然界中存在的几乎都为不规则分形结构。如多级分叉的血管、维管束如图3所示。不能从形状和结构上区分两部分血管在本质上的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明血管的分叉在统计意义上是自相似的，也就是部局形态和整体形态的相似。不规则分形对自然中的不对称性、不规则性可以更好的描述出来。其仅具有近似的或统计意义下的自相似性。

图1　Koch雪花　

图2　Sierpinsky三角形

图3　多级分叉的血管、维管束

对分形结构的这种不规则程度或者破碎、自相似程度的定量参数是分形维数（Fractal Dimension）。所以分形维数是分形理论的重要核心内容［6］。

（2）分形维数［7］

对于一个维数已经确定的几何体，若选取与其维数相同的几何体测量，已知几何体的维数为r，则可得到某个确定的数值，与r之间存在如式（1）函数关系：

式中：DH为豪斯道夫维数（Hausdorff Dimension），可以是整数，也可以是分数；r为度量尺度；N（r）为测度所得到的测量单元数。

另一方法可选取某一图形，放大图形使其尺度变为原来的L倍，则图形本身变为原来的N（L）倍，则可得：

式中：D为分形维数。

分形维数是分形的一个非常重要的特征量，表征复杂集合形状物体的如相似程度、复杂程度等很多信息，对自然界的复杂形状物体的研究提供了宝贵的途径。

1.2分形几何的发展

在人类近现代的科技进步当中，可以粗略地把分形的发展分为三个阶段。

第一阶段为1875～1925年。人们对常见的分形集合已经有了初步的感知，并且试图将这类集合与经典几何区别开来，对其差别进行描述、分类和刻画。1872年，维尔斯特拉斯（Weieratrass）证明维尔斯特拉斯函数如图4所示，豪斯道夫（Hausdorff）于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数，这期间学者对分形的基本问题做了较多的研究。

图4　维尔斯特拉斯函数图

第二阶段1926～1975年，学者对分形进行了一系列数学性质上的深入研究，深化了第一阶段的思想，形成理论。而且，学者将研究范围扩大到了数学的许多分支之中。曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用等均得到研究发展。

第三阶段为1975年至今。分形从单纯的数学研究中独立出来，成为单独的一门学科，并应用在工程技术、物理化学、生物医药、材料的制备及性能、水文地理、经济管理等方面。加之计算机技术的发展迅猛，分形理论在实践中应用范围越来越广。

2　分形理论的热研究现状

近期分形理论在传热方面的研究也逐渐兴起。无论是多孔介质、蜂巢结构还是树形分叉结构，都以其低阻力、高导热率得到了研究学者的重视。

2.1多孔介质分形的热研究

多孔介质的传热传质是能源、材料、环境、化学、生物医药等诸多方面的研究前沿。但是其内部结构复杂，没有特征尺度，形态无法用欧式几何描述。在传热传质当中，由于其不规律性使得传热传质的规律也具有随机性，给研究带来了极大的困难。而分形理论为精确研究复杂结构内部发生的各种物理化学过程开辟了一条新路［8-9］。

国内郁伯铭等［10-11］在多孔介质的传热传质方面做了大量的工作。理论方面，以有限差分法计算对称分形体的温度场，并且完成将多孔介质看成由非接触颗粒和相连的曲折颗粒链组成。假设曲折颗粒链服从分形分布规律。在此基础上，推导了双弥散多孔介质等效导热系数的分形模型［12］，并通过实验进行了验证。对孔隙界面和空间的分形结构进行了研究，使用的自相似递推方法是多孔介质运输特性计算在国内较早的应用。还提出了颗粒流中粒子的分形模型，得到粒子在不同分形维数下的分形分布，然后研究了针对单一粒子流动分布的导热系数［13］。

东南大学施明恒教授及其课题组对多孔介质的导热性能也进行了一系列研究。施明恒等［14］研究分形结构描述多孔介质传热路线，改进了传热公式得到：

式中：a为比例尺度；D为分形维数；这为多孔介质传热研究提供了一种新思路。

张东晖等［15-17］使用Sierpinski地毯结构研究多孔介质结构相关问题，利用有限容积法分析传热过程。发现多孔介质基质与孔隙之间存的换热较强，当不考虑孔隙气体中的导热时，导热率与基质率大多呈现指数关系。

国外发展了多孔介质热质迁移的热力学理论和综合理论以及相应的数学描述，对多孔介质传热传质的研究起到了重要的推动作用。

Bejan［18-19］通过引入横向和纵向局部分形维数来表示多孔复合材料的结构参数，并基于传统的传热学模型来导出等效导热率。但是，Monte Carlo方法复杂的计算，使得对分形维数的求解变得异常困难，因而难以应用。Perrier等［20］建立了二维不规则分形孔道网络模型，研究压汞和退汞过程，并模拟了水分与空气在土壤中的侵入渗流等物理过程。Shashwati等［21］采用反常扩散理论，结合分形体的几何标度特性，用随机行走法推出对称分形体的导热系数公式：

式中：D是分形维数；DW是谱维数。

2.2蜂巢结构分形的热研究

自然界的蜂巢由正六边形堆叠而成，具有一定的相似性，此种结构节省材料、具有的强度较高，并且具有最短的边界总长。由正六边形拓扑而成的蜂巢结构即是模仿自然界的蜂巢而构造的一种分形结构。

2001年，由清华大学李伟等［22］数值模拟得出了蜂巢结构蓄热体温度和速度分布，分析了蓄热放热过程，得出了气流速度、通道界面等对热阻流阻等参数的影响。

南京理工大学董涛等［23］对仿蜂巢分形微管道网络进行了设计和研究。同时从理论和试验上对比了仿蜂巢分形微管道网络换热器与平行阵列微管道换热器中的流动与换热特性，得出在其他条件不变的情况下，仿蜂巢分形微管道网络换热器的换热能力是平行阵列微管道换热器的5倍以上。而换热量相等时，蜂巢结构所需要的输送功率仅为平行阵列的十分之一。该课题组还做了恒定热流条件下去离子水的单相层流对流换热实验，原理如图5所示，实验发现在Nusselt数和换热平均压降方面，蜂巢结构也均优于普通的平行阵列结构。

图5　恒定热流去离子水的单相层流对流换热实验原理图

蜂窝结构织物的热研究，在2013年由东南大学赵敬［24］提出。以蜂巢组织为基础组织，利用蜂巢组织的凹凸性能，提出对多层蜂巢结构织物的编织方法上机实验，达到了良好阻碍传热的效果。

2.3树形分叉结构分形的热研究

树形分叉网络广泛存在于自然界当中，是分形理论的起源。植物维管束、动物血管网络、树枝、山川河流、城市交通管网系统及街道分布等都是树形分叉分形结构的实际应用［25］，研究显示，对于自然界中的树形分叉结构，无论是血管、河流、树枝等，分叉结构的管径和分叉角度都成最优化分布或者接近最优化使得导热性能和流阻等参数也达到优化值。

国内在这方面的研究较少，2006年海军工程大学伍文君等［26-27］对构形模式进行了释放式优化改进，将上一级分形结构体的各个参数作为新的自由度，以此计算迭代后一级分形。改进后的最优结构与改进前相比，各级分形结构的热阻降幅达30%。

2010年东南大学陈永平等［28］对分形树状通道换热器内的流动换热特性进行了一系列的研究。建立了换热器内层流的流动和传热模型，对横截面为矩形的树状通道强化传热进行模拟，分析受热面温度分布，并与蛇形通道换热器进行实验对比。最终得出结论，在树状通道的分叉处能够形成二次流，能够有效地增强换热，较之于蛇形通道达到更均匀的温度和更小的压力降。同样在入口流体雷诺数相同的情况下，树形通道换热器所需的换热面积要远远小于蛇形通道。

国外，早在20世纪初（1926年），Murray［29］在总结研究成果基础上提出了著名的Murray定律。流体体积一定，心血管直径存在最优比例关系使得流动阻力最小，公式表达为：

式中分别为母体管道和两个子管道的直径如图6所示。此外，Murray又对分叉管道的夹角进行了研究，指出分叉管道的夹角之间也存在最优值［30］。

图6　子母管道示意图

近几十年来，学者对分形分叉结构进行了广泛的研究。比较有代表性的，1997年Bejan［31-32］提出了著名的构造理论（Constructal Theory），通过对不同级别的高导热材料体的热阻优化，形成了树杈状结构。继而将这种现象归纳分析，形成了树状分叉传输网络模型，并应用在换热器的设计制造方面。并且在后续的研究中还得到树状分叉的最优分叉数量为2。

次年Dan等［33］通过研究两种不同材料的导热，证明了树状结构的普适性。稳态流中阻力最小，流动所用的平衡时间最小，由这两个优化原则得到的两种最优化结构有着很好的相似性。

进入21世纪以来，学者对树形分叉结构的研究更加深入。2002年Pence［34］讨论了分形树状换热器对微通道换热的影响。把转角结构和交叉结构处的流体流动和传热特性作为重点研究对象，表明这两种结构的存在使流体流动过程中流动和传热的努塞尔数发生变化，并在一定程度上提高了换热能力。2005年Ghodoossi［35］针对分形结构和平行管的流动换热特性，在理论推导中结合流动换热的相关公式做了一定程度的比较。得出分形结构的性能普遍由于平行管换热器。2006年Emerson等［36］对树状分叉换热进行设计并模拟，对结构参数，每个分叉的分支数，分叉的个数都进行了详细的研究，得出结论与Bejan所得结论一致，证明了树状分形在回热器中应用的可行性。

3　分形理论热应用发展趋势

对于分形多孔介质传热，热量传递是一个相当复杂的过程，热量既可以通过不规则固体骨架进行传播，还可以通过间隙中流动流体的对流以及导热进行传递。而各类迁移参数同样随着实际多孔介质内部的几何结构的不规律性而出现不均匀性或者不确定性。分形理论的重要功能即是将这些不确定性利用其理论架构进行准确的表述。所形成的分形多孔介质就使得传热、流阻等方面得到精准的理论描述。但在当下的研究中，由于普维数同样复杂多变，在导热和扩散的过程中特性具有很大区别，则对于普维数的研究应当更加深入，以期寻找到多变普维数与其所描述的动态过程之间的完整关系，之后将会使多孔材料的运用可控程度以及效率得到极大的提高。

对于蜂巢分形结构而言，其优良的传热性能已经得到学界的认可，对其流动和传热的探究也从未间断。当下的蜂巢结构换热器逐渐朝着微型化、复杂化发展，研究在微型化和复杂化的过程中，蜂巢结构的流动和换热特性的改变。另外，学界多研究单相流体在蜂巢分形结构微管道网络中的特性，对于可相变蜂巢结构的研究并不多见。而对单相传热以及流阻的研究逐步向对相变换热和阻力的研究拓展，将会在继承蜂巢结构强换热低流阻的优点上利用巨大的相变潜热进一步提升平均努塞尔数以得到更强的换热，同时利用气相的流动大大降低摩擦阻力减少压降。

同样对于分形树状分叉网络的研究也建立在其特殊的几何特性和运输特性上，具有很高的理论和实用价值。其微型化的进程也在进一步研究当中。深入分析微型分叉通道的散热以及流动阻力，形成一定的数学模型，并利用数学模型进行数值模拟是与其他分形结构相同的发展方向。在微尺度下，由于表面力的作用变得更加明显，需要在采用连续介质模型的同时对适用于宏观尺度的模型进行修正，形成更加完善的适合微尺度的模型。同时，与蜂巢结构和多孔介质不同的是，树状分叉结构的获得一般由对自然状态的模拟而来，并非直接生成。自然分叉系统的分叉具有随机性而且结构更加复杂，难以建立准确的几何模型。因此，如何利用现有技术直接模拟生成可以达到人为规定参数标准精确的规则分叉系统或者更加复杂的随机分叉系统，对这个系统加以理论描述，并运用于工程设备，也是未来的发展方向之一。

4　总结

对分形理论进行了简要的介绍，对其重要特征和发展历程予以回顾。针对分形理论在导热方面的国内外研究现状进行了详细地介绍，并列举出近些年较为重大的理论或者试验研究。并以多孔介质、蜂窝结构、分形树杈结构为分类标准将学者的研究成果进行简单归纳总结，同时提出了该领域的研究方向。

分形理论始于自然界的自然选择，并在学者的研究下逐渐深入工程领域。在仿生学发展迅速的当今，分形理论的研究将会在生物医学、电子器件、航空散热反应膜的制备［37］等各个方面有着更加繁荣的发展。

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FRACTAL GEOMETRY THEORY AND RESEARCH STATUS IN HEAT TANSFER

WU Tong，LIU Yi-cai，LEI Bin-yi
（Institute ofAdvanced Energy Storage Technology，Central South University，Changsha410083，China）

Fractal geometry theory and the development process and direction are the target of this paper.Abrief introduction of fractal geometry theory is put forwarded.The important characteristics and history of fractal geometry theory are reported.Porous media，honeycomb structure，fractal tree structure are taken as the standard of classification of the summary.And the paper introduces the research status at home and abroad in the filed of heat transfer with the important theories or experimental studies in recent years.Based on the research status，research directions in the future are regarded that improving the fractal theory in heat transfer will increase the efficiency of the heat transfer，reduce the resistance loss，improve the efficiency of the equipment and reduce the cost.

fractal structure；heat transfer；porous media；honeycomb structure；fractal tree structure；heat regenerator

TB65

A

1006-7086（2015）05-0249-06

10.3969/j.issn.1006-7086.2015.05.001

2015-08-12

国家自然科学基金项目（51276201）

武曈（1991-），男，河南省驻马店人，硕士研究生，从事热声热机及低温制冷机研究。Email：168968756@qq.com。