一道高考数列题的解法探究

黄俊峰

例题  （2014年高考新课标卷） 已知数列[{an}]满足[a1=1，an+1=3an+1.]

（1）证明：[an+12]是等比数列，并求数列[{an}]的通项公式;

（2）证明：[1a1+1a2+…+1an<32].

第1问易求得[an=3n-12]，下面给出第2问的几种证明方法.

证明一  利用裂项相消证明数列不等式

第2问的和式可转化为利用裂项相消求和，求和后再放缩.

由[1an+1=23n+1-1=2（3n-1）（3n+1-1）（3n-1）<2?3n（3n+1-1）（3n-1）][=13n-1-13n+1-1]得，

[1a1+1a2+…+1an=1+（131-1-132-1）+（132-1-133-1）][+…+（13n-1-1-13n-1）]

[=1+12-13n-1<32.]

点拨  放缩结论：（1）[1k-1k+1=1k（k+1）<1k2<][1k（k-1）=1k-1-1k（k≥2）;]

（2）[2（1k-1k+1）=2k+k+1<1k<2k+k-1][=2（1k-1-1k）（k≥2）.]

证明二  直接构造等比数列

设数列[cn]是公比为[q]，首项[c1=1a1=1]的等比数列.

若[1an≤cn]，则只需数列[cn]的前[n]项和[Sn<32]即可.

而[Sn=c1+c2+…+cn=c1（1-qn）1-q

而[c1=1，]易求得[q=13.]

则只需证明[1an≤cn=c1?qn-1=13n-1，]即证明[23n-1≤13n-1].

用分析法容易证明上面的不等式成立，

则有[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=32（1-13n）][<32.]

点拨  当可以直接用等比数列求和时，求和后放缩;否则先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和，求和后再放缩.

证明三  利用不等式放缩为等比数列

依题意易得，[1an=23n-1].

因为当[n≥1]时，[3n-1≥2×3n-1]，

所以[13n-1≤12×3n-1]，即[1an=23n-1≤13n-1].

以下同证明二.

点拨  为了转化为等比数列求和后再放缩，有时也可用不等式放缩来达到目的.

证明四  利用分式性质放缩为等比数列

[n≥2]时，[1an=23n-1<2+1（3n-1）+1=33n=13n-1.]

以下同证明二.

点拨  为了转化为等比数列求和后再放缩，可以利用假分数的一个性质[ba>b+ma+m（b>a>0，m>0）]来证明.

证明五  利用因式分解放缩为等比数列

[n≥2]时，[3n-1=（3-1）（3n-1+3n-2+…+3+1）>2?3n-1，]

则[1an=23n-1<2+1（3n-1）+1=33n=13n-1].

以下同证明二.

证明六  利用递推关系放缩为等比数列

由[a1=1，an+1=3an+1]得，[an+1>3an，]

则[an>3an-1>][32an-2>33an-3>…>3n-1a1=3n-1.]

以下同证明二.

点拨  对于一个式子的[n]次方与一次式、二次式等进行比较的类型，一般可采用二项式定理进行减项放缩.

证明七  利用二项展开式放缩为等比数列

[n≥2]时，[3n-1=（2+1）n-1=C0n?2n+C1n?2n-1+…+1][-1][>2n+n?2n-1≥2n+2?2n-1=2n+1，]

[∴1an=23n-1<22n+1=12n，]

[∴1a1+1a2+…+1an]

[≤1+14+18+…+12n]

[=12+12（1-12n）1-12=32-12n<32].

证明八  数学归纳法

数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的常用方法，如果直接采用数学归纳法，从[n=k]到[n=k+1]很难过渡，故需将此不等式转化为[1a1+1a2+…][+1an<32-λ?13n].

由数学归纳法的原理可知，

[1<32-λ?13，32-λ?13k+23k+1-1<32-λ?13k+1，]解得[1<λ<32].

取[λ=54，]下面用数学归纳法证明[1a1+1a2+…+1an][<32-54?13n].证明过程略.

点拨  对于数列型不等式[i=1naim]），可以先转化为[i=1naim-f（n）]），然后用数学归纳法加以证明.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体. 在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果. 但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反结论的现象. 因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要. 要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点. 以上八种方法中，转化为裂项相消和等比数列是通用性方法，需要好好体会，只要我们有了方向和目标，那么问题就好解决了. 掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活.