基于自适应步长双参数正则化算法的超声波过程层析成像图像重建

张 琳，邵富群，周 明

（东北大学信息科学与工程学院，辽宁　沈阳　110004）

基于自适应步长双参数正则化算法的超声波过程层析成像图像重建

张 琳，邵富群，周 明

（东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110004）

提出了一种新的自适应步长双参数正则化算法，对超声波层析成像系统检测浆体浓度分布进行图像重建。该算法利用转换矩阵将超定解作为先验信息，嵌入到正则化泛函中，避免重建图像被过度平滑，不仅成像速度较快且重建图像具有较高分辨率。仿真实验结果表明，相比于Tikhonov正则化算法以及Landweber算法，自适应步长双参数正则化算法重建图像的相关系数有明显提高并且边界信息更加可靠。

计量学；超声波过程；自适应步长；双参数正则化算法；先验信息；层析成像；图像重建

1　引言

Tikhonov正则化算法是一种解决过程层析成像中图像重建问题的有效方法，因其计算速度较快而适用于各种实时性要求较高的过程层析成像系统。由于层析成像反问题的系数矩阵是稀疏矩阵且严重病态，而Tikhonov正则化算法的泛函过于平滑，无法有效表征信号的稀疏性，导致重建图像的边界模糊不清［1，2］，使得在图像重建过程中容易丢失高频信息。为此，本文在Tikhonov正则化算法思想基础上提出一种自适应步长双参数正则化算法（Adapted Step Two-parameter Regularization，ASTPR），并通过仿真实验验证了其有效性。

2　超声波层析成像基本原理

如图1所示，在半径为200 mm圆形管道的管壁上等间距安装20个收发两用的150°扇形超声波换能器。如果将换能器发出某一频率下的超声波近似看成平面波，根据声学原理，当超声波通过介质时的振幅变化满足如下关系：

式中，I0为超声波入射介质前的幅值，I为超声波行进距离为l后的出射幅值。a（x，y）为声路上任一点超声波衰减系数的函数，dl为声路上的微元。

两边取对数后令P=∫a（x，y）dl，则式（1）转变为

图1　换能器阵列系统

把变量P称之为超声波声束在直线l方向上的投影。在投影数量为m的条件下，如果将所研究的圆形场域剖分n个三角单元，并且认为每个三角单元内介质浓度是一致的，也就得到了介质分布和投影的关系式。如果用aj表示第j个三角单元的衰减系数，lij表述第i条投影经过第j个三角单元的声路长度，可得到如下线性方程组：

为计算方便，令：

则线性方程组（3）转化为：

在以往的研究中，有很多算法求解上述方程组问题，如，Tikhonov正则化算法［3］，Landweber迭代算法［4］，遗传算法［5］，模拟退火算法［6］，神经网络法［7］，总变差正则化算法［8］等。其中，Tihkonv正则化算法计算速度快并能得到较好的近似解。经典Tikhonov正则化方法的泛函为：

为使式（5）极小化，令：

得正则化解：

由Hansen于1992年提出的L曲线法是选择正则化参数最具代表性的方法。所谓L曲线是指以（log10‖X‖2，log10‖AXλ-Y‖2）为点坐标，在直角坐标系中所构成的曲线，因为曲线形状大多呈L形，故称之为L曲线法［9～11］。

3　自适应步长双参数正则化算法

如图2所示，首先将研究的圆形场域剖分为少于投影数据数量的三角形单元。根据关系式（3）建立如下超定方程组：

式（8）的最小二乘解为：

然后，对场域进行更细致的剖分。具体做法是用图2中三角的单元各边中点作为节点将图2中每个三角单元重新剖分为4个等面积三角单元，并根据关系式（3）建立如下欠定线性方程组：

通过对两次剖分关系的分析可知，图3中4个小三角单元浓度值之和应接近图2中所对应的大三角单元浓度值的4倍。利用X1与X之间的位置关系转换矩阵C将X1作为求解X的先验信息嵌入到正则化泛函中，最终构造出ASTPR泛函：

式中，λ1，λ2为正则化参数，A为系数矩阵，X为解向量，Y为投影向量，X1为方程（8）的解向量，矩阵C为X与X1对应位置关系转换矩阵。ASTPR泛函比Tihkonv正则化算法泛函多出λ2‖CX-4X1‖2一项，当λ2=0时，ASTPR算法等同于Tihkonv正则化算法。因此，Tihkonv正则化算法是ASTPR算法特例。

图2　超定剖分图

图3　欠定剖分图

为使式（11）极小化，令：

得正则化解：

因为A是严重病态的，所以X中元素不再处于合理衰减系数范围内。为此，本文提出解元素适用比率这一新概念来解决寻找最优正则化参数问题。解元素适用比率简称为解适用率，在此用字母ρ表示。其定义是：解向量X中处于合理衰减系数范围内元素的个数与解向量X元素总数的比值。解适用率ρ是一个介于0到1之间的数，解适用率ρ的值越大说明解向量中合理元素成分越多。

图4　解适用率曲面

令相关系数：

图5　相关系数曲面

由于对于任意给定的λ1，ρ都是关于λ2的多峰函数，这为搜索到带来了很大的困难。为此，本文通过对解适用率曲面的观察后提出了快速搜索到的策略。由于λ对ρ和CC的变化影响不大且1对于任意的λ1总存在对应的，所以确定前先任意给定λ2，当‖AX-Y‖取得极小时确定。此后λ1固定为不变，这就将双参数搜索问题变为单参数搜索问题。

4　仿真实验结果对比

从图1换能器阵列系统中得到的投影数量为128。在第一次剖分中将圆形场域剖分为96个三角单元，第二次剖分将场域剖分为384个三角单元。黑色、深灰色和浅灰色分别表示浆体质量浓度百分比为70％（高）、50％（中）和30％（低）3个浓度等级，白色代表纯水的区域。图6、图7、图8、图9分别给出在（a）、（b）、（c）、（d）4种模型下的标准图像、Tihkonv正则化算法、Landweber迭代算法和ASTPR算法的成像结果。

从图7，图8，图9三种算法对模型（a）重建图像的对比中可以看出，ASTPR对小占空比浆体分布的分辨能力要明显高于Tikhonov正则化算法和Landweber迭代算法。从对模型（b）、（c）的重建图像对比中可以看出，ASTPR算法得到的重建图像在浆体区域位置，浆体区域边界，以及浆体区域浓度3项对比中也明显优于正则化算法和Landweber迭代算法。最后，在表1中对3种算法对模型（a）、（b）、（c）重建图像的相关系数做出了比较。

表1　相关系数

5　结论

图6　标准图像

本文在双参数正则化算法的基础上针对残差曲面和解适用率曲面特性提出了自适应步长正则化算法（ASTPR）。仿真实验结果表明，相比于Tihkonv正则化算法和Landweber迭代算法，ASTPR算法对小占空比浆体分布具有更高的分辨力。所得重建图像不仅在浆体区域的位置、浓度和边缘信息对比中具有明显优势而且相关系数也明显高于前两者，充分验证了ASTPR算法的有效性。

图7　Tihkonv正则化算法重建图像

图8　Landweber迭代算法重建图像

图9　ASTPR算法重建图像

［1］王化祥，唐磊，闫勇.电容层析成像图像重建的总变差正则化算法［J］.仪器仪表学报，2007，28（11）：2014 -2018.

［2］张玲玲，王化祥，范文茹.基于1范数的电阻层析成像图像重建算法［J］.天津大学学报，2011，（9）：786-790.

［3］Lei Jing，Shi Liu，Li Zhihong，et al.An image reconstruction algorithm based on the extended Tikhonov regularizationmethodforelectricalcapacitance tomography［J］.Measurement，2009，42（3）：368-376.

［4］Landweber L.An iteration formula for fredholm integral equations of the first kind［J］.American Journal of Mathematics，1951，73（3）：615-624.

［5］Mou Changhua，Peng Lihui，Yao Danya，et al.Image reconstruction using a genetic algorithm for electrical capacitance tomography［J］.Tsinghua Science and Technology，2005，10（5）：587-592.

［6］Ortiz-Aleman C，Martin R，Gamio J C.Reconstruction of permittivity images from capacitance tomography data by using very fast simulated annealing［J］.Measurement Science and Technology，2004，15（7）：1382-1390.

［7］Warsito W，Fan L S.Neural network based multi-criterion optimization image reconstruction technique for imaging two-andthree-phaseflowsystemsusingelectrical capacitance tomography［J］.Measurement Science and Technology，2001，12（12）：2198-2210.

［8］Wang Huaxiang，Tang Lei，Cao Zhang.An image reconstruction algorithm based on total variation with adaptive mesh refinement for ECT［J］.Flow Measurement and Instrumentation，2007，18（5-6）：262-267.

［9］Hansen P C，O'Leary D P.The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems［J］.SIAM Journal on Scientific Computing，1993，14（6）：1487-1503.

［10］Hansen P C.Analysis of Discrete Ill-Posed Problems by Means of the L-Curve［J］.SIAM Review，1992，34（4）：561-580.

［11］Johnston P R，Gulrajani R M.Selecting the corner in the L-curve approach to Tikhonov Regularization［J］.IEEE Transactions on Biomedical Engineering，2000，47 （9）：1293-1296.

Image Reconstruction of Ultrasonic Process Tomography Based on Fast Two-parameter Regularization Algorithm

ZHANG Lin，SHAO Fu-qun，ZHOU Ming
（College of Information Science and Engineer Northeast University，Shenyang，Liaoning 110004，China）

A new adapted step two-parameter regularization algorithm is presented to reconstruct image in ultrasound tomography system for detecting distribution of slurry concentration.The overdetermined solution，as a priori information，is embedded into the regularization function by using the transition matrix for accelerate reconstruction.Higher space resolution is achieved and the over-smoothing deficiency of the reconstruction can be avoided effectively.The simulation results show that，compared to Tikhonov regularization algorithm and Landweber algorithm，the correlation coefficient of the reconstructed image by using SATPR are significantly improved and the boundary information of image is more reliable.

Metrology；Ultrasound progress；Adapted step；Two-parameter regularization algorithm；Priori information；Tomography；Image reconstruction

TB937

A

1000-1158（2015）01-0048-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.11

2012-09-29；

2013-12-24

张琳（1980-），男（满族），辽宁沈阳人，博士，东北大学博士生导师，主要从事超声波层析成像算法研究。zhanglin158158@163.com