抽样问题的处理方法

蔡卉

为了解决现实生活中我们碰到的很多问题，必须收集相关数据并加以分析. 然而从节约费用等方面考虑，一般是从总体中收集部分个体的数据得出结论，也就是要通过样本情况去推断总体情况. 为了使样本具有好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是要将总体“搅拌均匀”，即使每个个体有相同的机会被抽中.

随机抽样即是建立在随机原则基础上，从总体中抽取部分进行收集数据的方法，是统计学的基础，常用抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种. 这三种抽样方法各有特点，在使用这三种方法时，只有准确把握它们之间的联系与区别，才能准确、合理地从总体中抽取样本. 本文结合具体实例对三种抽样方法的区别与联系加以叙述.

一、简单随机抽样

若总体中没有差异明显的层次，一般优先考虑采用简单随机抽样.当总体容量较小时，宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法.

例1 为了考查某校的教学水平，抽取这个学校高三年级部分学生本学年考试成绩进行考查. 为了全面地反应实际情况，采取以下三种方式进行抽查：（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编号了学号，假定该校每班学生人数都相同.）

（1）从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考查他们的学习成绩；

（2）每个班都抽取1人，共计20人，考查这20名学生的成绩；

（3）把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考查.（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人.）

上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？

解析 第一种情况由于总体样本较少，宜采用简单随机抽样；

第二种情况由于总体样本较多，并且总体中没有明显差异，宜使用系统抽样法和简单抽样法相结合；

第三种情况由于总体中由成绩差异明显的三层构成，所以宜使用分层抽样法和简单随机抽样法.

二、系统抽样

系统抽样相对于简单随机抽样最主要的优势就是经济性，系统抽样方式比简单随机抽样更为简单，花的时间更少，并且花费也少.但使用系统抽样方式最大的缺陷在于总体单位的排列上，系统抽样所得样本的代表性和具体编号有关（简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关），如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差.

例2 某单位在岗职工人数为624人，为了调查工人上班时从离开家到单位平均所用的时间，决定抽取[10%]的工人进行调查，试问最好采用什么抽样方法完成这一抽样？如何抽取？

解析 由于在岗职工没有明显差异，并且总体人数较多，故适宜采用系统抽样法.首先，将在岗的职工624人用随机方式编号：000，001，002，…，623；第二步，由题知应抽取62人的样本，应为[62462]不是整数，所以应从总体中剔除4人（由于总体容量较多，样本容量较少，故剔除方法宜用随机数表法），将余下的620人，重新编号为000，001，002，…，619分成62段，每段10人，在第一段000，001，002，…，009这十个编号中，用简单随机抽样选取一起始号[i0]，则编号[i0，i0+10，i0+20，…，i0+61×10]为所取的样本.

三、分层抽样

若总体是由差异明显的几个层次组成，则宜用分层抽样，当抽样比与各层的个体数的乘积是整数时，则该积就是该层的抽样数；当抽样比与各层个体数的乘积不是整数时，则该积经过四舍五入后就是该层的抽样数.

例3 选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程.

（1）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

（2）有甲乙厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；

（3）有甲乙厂生产的300个篮球，抽取10个入样；

（4）有甲乙厂生产的300个篮球，抽取30个入样.

解析 应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况，灵活地使用各种抽样方法解决问题.

（1）总体由差异明显的几个层次组成，故选用分层抽样法.

第一步，确定抽取个数.因为[1030]=[13]，所以甲厂生产的应抽取21×[13]=7（个），乙厂生产的应抽取9×[13]=3（个）；

第二步，用抽签法分别在甲厂生产的篮球中抽取7个，在乙厂生产的篮球中抽取3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.

（2）总体容量较小，样本容量也小，用抽签法.

第一步，将30个篮球编号，编号为00，01，02，…，29；

第二步，将以上30个编号分写在大小形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；

第三步，把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；

第四步，在袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；

第五步，找出和所得号码对应的篮球即为要抽取的样本.

（3）总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.

第一步，将300个篮球用随机方式编号，编号为：001，002，003，…，300；

第二步，在随机数表中随机确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；

第三步，从数“7”开始向右读，每次读取三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到286，211，234，297，207，013，027，086，284，281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.

（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样方法.

第一步，将300个篮球用随机编号，编号为：000，001，002，…，299，并均分成30段；

第二步，在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个（比如002）作为起始号码；

第三步，将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，组成样本.

总体来看，三种抽样方法在抽样过程中，每个个体被抽到的机会都相等且都是不放回抽取. 简单随机抽样是最基本的抽样方法，适用于总体容量较少的样本，从总体中逐个抽取；系统抽样适用于总体容量较多但单个体差异不大的样本，将样本总体分成几部分，再按预先定出的规则部分抽取；分层抽样适用于由差异明显的若干部分组成的样本，将总体分成几部分，每一部分按比例抽取. 在学习此部分内容时，应该明晰三者间的差别，从而在解题过程中有针对性地使用.

[练习]

1.一个单位有职工500人，其中未到35岁的有125人，35到49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，试问：应用什么方法抽取？能在500人中任意抽取100人吗？能将100个份额均分到这三个部分中吗？

2.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②. 那么完成上述两项调查采用的抽样方法分别是什么？

3. 某学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样法从一年中抽取52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？

4. 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别各随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

5.为了调查某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行调查。为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该学校每班学生人数都相同）：

（1）先从全年级20个班中任意抽取1个班，再从该班任意抽取20人，考查这20人的学习成绩；

（2）从每个班中各抽取1人，共计20人，抽查这20人的成绩；

（3）把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行调查（若按成绩分，则该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.

根据上面的叙述，试分别写出三种抽查方式各自抽取样本的步骤.

[参考答案]

1. 适宜选用分层抽样法.因为总体中的个体年龄有比较明显的差异，所以不能在500人中任意抽取100人，又因为各部分的人数占总体的比例不同，所以也不能将这100个份额均分到三部分中.

2. 由于①中总体容量较大，并且家庭收入差异明显，宜使用分层抽样；②中总体容量较小，宜采用简单随机抽样.

3.从顾客类型及顾客作息时间等方面进行分析，看每周相同的一天是否能很好地反应总体.这个选择不合适，因为超市位于学校附近，其顾客多为学生，其客流量受到学生作息时间的影响，周末时，客流量会明显减少，寒、暑假也会影响超市的客流量，这样必然导致样本不能很好地反映总体，正确的方法是利用简单随机抽样或分层抽样进行抽样，可以把一周分为7天，一年分为52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本.

4.（1）甲品牌产品寿命小于200小时的概率为[14].

（2）已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为[1529].

5.第一种抽样方式的步骤如下：

第1步，在这20个班中用抽签法任意抽取1个班；

第2步，从这个班中用简单随机抽样的方法抽取20名学生，抽查其考试成绩.

第二种抽样方式的步骤如下：

第1步，在第1个班中，用简单随机抽样的方法抽取一名学生（其学号为a）；

第2步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人.

第三种抽样方式的步骤如下：

第1步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应把全体学生分成3层；

第2步，确定各层抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为100∶1000=1∶10，所以在各层抽取的个体数依次为15，60，25；

第3步，按层次分别抽取.分别在优秀生、良好生、普通生中用系统抽样的方法各抽取15人、60人、25人.