本原性教学：数学教学的理性回归

赵兆兵

[摘 要]“本原性教学”意味着教学回归“本原”，追问教学的本质，这不仅是对数学教学现实的一种纠偏，更是对学科教学深层的本质性的一种追寻。它是一种教学的方式，一种教学设计的理念，也是一种思考教学的方式。本原性教学的课堂实践要立足数学视野，分析教学内容；站到儿童立场，构建整体框架；回到教学场域，把握关键事件。

[关键词]本原 数学教学 教学内容 整体框架 关键事件

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）29-012

夏丏尊先生在《爱的教育》译者序言中有这样一段文字：“学校教育到了现在，真空虚极了。单从外形的制度上、方法上，走马灯似的变更迎合，而于教育的生命的某物，从未闻有人培养顾及。好像掘池，有人说四方形好，有人又说圆形好，朝三暮四地改个不休，而于池的所以为池的要素的水，反无人注意。”夏先生在这里说的是教育，其实，数学教学又何尝不是如此！过分追求教学外在的“形式”，而不关注教学内容的本质，只为演绎所谓“教”的精彩，而不关心学生真实的想法，一味跟风模仿，迎合新的理念，缺少自己独立的价值判断与理性思考，教学正与我们的“初衷”渐行渐远，变成一个“没有了水的池塘”。“洞见或透识隐藏于深处的棘手问题是很难的，因为如果只是把握这一棘手问题的表层，它就会维持原状，仍然得不到解决。因此，我们开始以一种新的方式来思考。”显然，数学教学亟需回归本原，追寻本原性的学科教学！

一、数学“本原性教学”的内涵诠释

“本原”字典中的解释是根本，事物的最重要部分。哲学上指万物的最初根源，世界的来源和存在的根据。哲学中对“本原”的思考表现为一种刨根问底的探询精神，始终把理解世界的“终极存在”、“始基”、“初限”或构成世界的“元素”作为哲学研究中的首要问题。

借用哲学中对“本原”的理解和思考方式，我们尝试提出一种“本原性教学”的设想，即教师始终把某个数学问题中最为原始、朴素、本质的观念、思想和方法作为思考的首要问题。紧扣教学内容的数学本质设计教学任务，引导学生在交往互动的过程中获得知识建构和能力提升，形成良好学科观念的一种教学方式。

作为一种理想的教学形式，本原性教学意味着教学要凸显教学内容的数学本质。把师生的“眼光”都聚焦到对所教和所学内容的数学本质的探询、理解和创造上来，而把对技能、技巧的训练和对经验、情景的设计等视为其必要的“背景”，让课堂充满数学的“本味”。

作为一种教学设计的理念，本原性教学意味着教学应扎根于学生的常识和经验。关注其最原初、朴素的想法和真实的思维状态，让学生经历数学知识“再创造”的过程，不断提升学生数学理解的水平，发展数学核心素养。

作为一种动态的思考教学的方式，本原性教学意味着要重塑教师的教育哲学。运用哲学中对“本原”进行连续不断地追问和探询的方式思考数学及其教学，让师生共同体会到教学主题的数学本质、原初观念和核心思想，形成批判的意识和独立思考的精神。

总之，本原性教学意味回归“本原”，追问教学的本质。这不仅是对数学教学现实的一种纠偏，更是对学科教学深层的本质性的一种追寻。

二、数学“本原性教学”的实践建构

理念是一种庄严的理想，一种在经验中无法遇见的完美性的概念。理念只有在具体的实践中才能体现价值。作为追寻教学本质中一种完美设想，本原性教学如何在具体的课堂实践中落地生根，真正成为一种行之有效，并能够引导课堂教学的核心观念。下面结合教学实践谈一些粗浅的做法。

（一）立足数学视野，分析教学内容

数学课中“数学味”流失的一种重要原因，就是教师缺失清晰的从数学角度考量教学的意识与视野！数学知识的教学，不仅仅是单一的、静态的符号形式，更是数学思想方法、语言、文化的整体的、动态的综合体现，学生数学素养的提升，必须在经历数学知识的探索过程中，感悟知识，形成技能，体验思想方法，获得积极的情感体验。因此，教学分析不能仅仅限于教学方法的层面，还需要揭示数学本质，从数学内容上进行提升！有效的教学依赖于教师对数学本质的“深度理解”。

1.探询教学内容的本真意义

课改以来，教材编写有一个显著的特点，就是调强“数学生活化”，借助“生活原型”帮助学生理解“数学概念”，应该说这个基本出发点是好的。但是，如果教师不能清醒地认识到，学生在日常生活中自由生成的“纯经验”型的数学信息与真正意义上的“数学概念”之间的本质区别，而只是一味停留在“情境”的层面展开教学，那么数学内涵的流失将成为一种必然！

以“三角形的高”教学为例，什么是三角形的高？三角形的“高”与日常生活中的“高”的内涵是一回事吗？教材中从“人字梁”模型引入对学生理解三角形的高有没有负面的干扰？事实上，三角形的高更应该是数学上量化三角形的一个“参数”，跟长方形中的“长”和“宽”是类似的概念，而生活中的“高”多是竖直方向上物体的高度。清楚地认识这一点，教学中显然就不应过分纠结是用“人字梁”这样的素材，还是创设“小松鼠把三角形的蛋糕推进树洞”的情境，而应该让学生真切感受到“高”引入的数学价值，是数学中量化地研究图形的需要。

对教学内容中数学本质的探询，意味着教师要追问“生活数学”与“学校数学”的分野，从学科上对教学内容的本质有一个整体认识和定位，构建 “数学教学内容知识（MPCK）”体系，形成自己对数学教学目的的统领性观念。

2.把脉教学内容的思想轨迹

依托教材分析教学内容，有两条“主线”值得我们深思。一条是数学知识体系的“明线”，它明明白白呈现在教材的例题中；另一条是隐含在知识体系中的思想方法——“暗线”。在“有形”的数学知识中蕴含着“无形”的思想方法，需要我们透过具体的知识内容，把脉教学整体的思想轨迹。

以“用数对确定位置”教学为例，有教师认为：学生在考试里“行”和“列”容易出错，因此在教学中想方设法进行强调，让学生反复操练以期取得良好效果。然而细细想来，“先列后行”真有那么重要，值得如此大费周张吗？事实上，透过“用数对确定位置”的知识表层，“一一对应”的思想赫然在目！一个数对只能表示平面上一个点的位置，一个点只要也只能有唯一的数对表示。再进一步思考，什么时候，我们只用一个数字，就能确定一个点位置？如果要确定魔方上一个小方块的位置，用两个数组成数对还行吗？数学味的核心自然是数学，但绝对不是纯粹的数学知识与技能，而是富有文化色彩的带有鲜明数学特性的整体感。诚如教育家米山国藏所言：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”

3.对接教学内容的思维方式

数学学习中每一个新的领域，都意味着一种新的思维方式。因此，教学不仅是建构知识发展能力，更重要的是让学生实现思维方式的转变，实现由知识教学向智慧教学的跨越。波利亚指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”数学史对教学的借鉴意义，一个重要的方面就是对知识背后的思维历程的理解和把握。

以“用字母表示数”的教学为例，教材（苏教版）的例题是这样呈现的：摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用6根小棒，摆3个三角形、4个三角形呢？摆n个三角形呢？用字母表示是“n×3”。教学时，如果只是按照这样的顺序展开，课堂无疑是“顺畅”的，但这里的“顺畅”只是假象，因为教学没有触及所教内容的根本。那么问题出在哪里呢？其实“用字母表示数”的教学本质在于学生思维方式的转变，即从学生熟悉的算术思维向代数思维的转换。显然，这样的转换对学生来说并不是一件容易的事件，这也是造成学生填写“青蛙歌”时教学尴尬的重要原因。为此，教学的重构意味着让学生感受到“n×3”不仅是一个算式，也能表示一个结果，并通过不断由“过程”到“对象”的“凝聚”的过程中，让学生体会到用字母表示数的本质。

（二）站在儿童立场，构建整体框架

小学数学的本质是“儿童数学”。儿童学习数学一直以来都有其自身的方式，这是由儿童的生理和心理的特征决定的。教学中，如果片面凸显数学之于教学的意义，一味地追求教学的深度，对于儿童来说，无疑是一场学习的灾难。弗赖登塔尔认为：“学习数学的唯一正确的方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来。”由此，真正意义上的教学是“数学味”与“儿童性”之间的一种平衡，是教学整体框架下儿童的内在生长与自我完善。

1.从儿童的经验出发

数学知识不仅包括被整个数学共同体所认同的“客观性知识”（科学形态的表征），还包括从属于学生自己的“主观性知识”（个体认识的表征），即带有鲜明个体认知特征的“数学经验”。学生的数学经验反映了其对数学的真实理解。站在儿童立场，意味着数学教学应当植根于儿童经验，呈现儿童经验，发展儿童经验。

在“折线统计图”的教学中，我首先呈现条形统计图并进行分析，激活学生已有的数学经验；然后引导学生从整体上观察条形统计图，并用手比画气温的变化趋势，同步画出轨迹，把条形的顶端简化为一个点，自然引入折线统计图；在此基础上引导学生比较两者的异同，突出折线统计图的特点。这样的教学利用学生已有的数学经验，使学生对折线统计图的特点理解更加深入。

2.向数学的本质迈进

一味迷信“经验”，过度向儿童的兴趣妥协，会让教学迷失方向！数学学习是让学生经历“数学化”的过程，这其中既包括横向数学化，也包括纵向数学化。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，而在“符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。

以“复式统计表”教学为例，从儿童的经验出发，创设真实的问题情境，引导儿童体会单式统计表的局限性是教学的必然之意。然而，如果接下来还是按教材的设计呈现复式统计表，让学生填写数据的话，教学便失去了应有的味道！换一种思路，让学生在亲身经历“合并”到“优化”，体会复式统计表的创生过程，学生对复式统计表的结构理解，对复式统计表独特的价值理解会不会更加的深刻？其实儿童与其说是“学习数学”，毋宁说是儿童经验的“数学化”。

（三）回到教学场域，把握关键性事件

学习是一种内部过程，但它受外部的刺激或事件的影响。我们把对学生学习内部进程有重大影响的事件称为教学中的“关键性事件”。把握教学中关键性事件有两种不同的视野。第一种是我们常见的教学重点、难点分析。“重点”针对的是教学内容，即什么是学生必须掌握的内容要点，教师要把教学重心放在哪里，反映的是学科课程论。“难点”主要是针对学生的学习过程而言，即学生可能存在的认知困难，反映的是学科学习论。第二种则来自对教学互动过程中“有意义事件”的辨别。其实，事件本身没有关键与非关键之分，重要的是教师对所发生的事件的判断和理解。

1.生成教学的“核心问题”

教学不能总是“在木板最薄弱的地方钉无数个钉，却在木板最坚固的地方无所为”。现实的课堂中“教师教得有模有样，学生学得糊里糊涂”一个最根本的原因就是“核心问题”的缺失！用一句诗来说就是“你教或者不教，难点就在哪儿，不增不减！”教学的关键在于“学习共同体”的建立，而这主要取决于“核心问题”的生成，只有真正进入师生视域交集中的问题才能成为教学的“核心问题”。

2.重塑教学的“对话品格”

教学的本质是思维对话。“对话不是单纯的言语应答，而是各种价值相等、意义平等的意识主体相互作用的一种形式。”英国思想家戴维·伯姆认为，“对话仿佛是一种流淌于人与人之间的意义溪流，它使所有对话者都能够参与和分享这一意义之溪，并因此能够在群体中萌生新的理解和共识。”

【教学片段】折线统计图

师（故意设疑）：现在大家都会看折线统计图了吗？什么样的折线统计图都能看懂吗？

生：能。

师：那我们来看一看这张统计图。

生（惊奇）：这是什么统计图啊？

师：不是说能看懂吗？怎么都不说了呢？

生1：这个统计图没有标题，也没有数据，我们怎么知道统计的是什么呀？

师：是啊！没有标题和数据，确实不知道统计的是什么。但我们可以来猜一猜！有三个同学猜测的结果是这样的。

课件出示：A同学：苏州市1～5月份的平均气温；

B同学：某同学跳绳后5分钟的心跳次数；

C同学：某同学最近5次数学测试的成绩。

师：你觉得哪个同学的猜测比较合理呢？

生2：我认为B同学的比较合理。我们跳绳后开始心跳得比较快，后来就平静了下来，所以5分钟心跳的次数比较合理。

师：为什么不选A呢？

生2：苏州市1～5月份的平均气温应该是越来越高。折线应该上升而不应该是下降，所以A不可能。

生3：我们认为C也有可能。

师：为什么？如果是C的话，你觉得这个同学的成绩怎么样？

生：不好，很差！

师：那如果是你的成绩，你觉得折线应该是什么样子的呢？

（学生用手从低到高比划折线的变化趋势）

师（微笑）：是这样吗？想好了吗？

生4：不对，不对！，我认为应该是这样——（用手沿水平方向比划）

师：什么意思？

生4：每次都是100分。（众生大笑）

上述案例中，围绕“这幅统计图统计的是什么呢？”“你觉得哪个同学的猜测比较合理？”“如果是你的成绩，你觉得折线应该是什么样的呢？”等问题，教师一步一步地将学生的思考引向深入，在寻找与折线统计图相吻合的数据的过程中，深化学生对折线与数据之间对应关系的理解，同时，不完整的统计图将学生思维进一步聚焦到“折线”上来。对“折线”特征的分析过程，其实就是对“折线”中蕴涵的丰富信息的解读过程，而这恰恰是学生数据分析观念的核心所在。

课堂对话永远充满着精彩的未知与可能，教学中的对话不是漫无目的的闲谈，而是教师、学生、数学之间“视界融合”的过程，是意义不断创造与生成的过程。重塑教学的对话品性，意味着对话要围绕教学的核心问题展开，并推进教学活动不断成为学生发展中的关键性事件。

“本原”原本是哲学研究中的一个冷峻字眼，但它同时把我们带入了一个追求本质、回归原初的境界。数学教学不应该是日复一日地重复某种固定的“模式”，因为教学经验的娴熟并不一定代表教学的进步。追问实践、澄清理念、重写自己的教育哲学，或许，对于“本原性教学”的追求只是个美好愿望，但谁又能不怀揣着愿望前行呢？

（责编 金 铃）