探讨高等院校中实变函数课程的教学改革

王峰

【摘 要】实变函数是高等院校数学专业的一门必修基础课，其核心内容是勒贝格测度及积分理论。实变函数课程内容具有较高的抽象性，这使得很多学生普遍感到学习该门课程很困难、提不起兴趣。本文结合个人的教学实践，探索了如何改进实变函数课程的教学方法。

【关键词】实变函数；数学思想；Mathematica；教学

实变函数课程是高等院校数学本科专业重要的理论分析基础课之一，它为学生进一步学习其它课程如微分方程、泛函分析、概率论、复分析、算子理论与算子代数等提供了必不可少的基础知识。由于其内容具有高度的抽象性、概括性、严谨性、构造性等特点，导致学生普遍感到学习该门课程很困难。这里，作者结合自己的教学实践，参考其他教师的教学改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教学改革想法。

1 让学生认识到学习实变函数的意义

在学习实变函数的过程中，如果学生仅仅是带着应付下考试的心理，那学习这门功课的意义就大打折扣了。实际上，实变函数内容的抽象性恰能很好地锻炼我们分析问题和处理问题的逻辑思维能力，锤炼我们的细心、耐心、恒心和信心。学习过程会是一个不断提升自身数学修养的过程。在这一方面，实变函数课程里每一章都涉及到大量的定理和证明题，要想很好地解决每道题其实还是很困难的。这时，学生们正确的学习态度和出色的推理能力将起着重要的作用。在未来的工作岗位上，绝大部分的数学院系的学生将从事和数学有关的工作，探究实变函数的思想将在他们未来的工作道路上起到潜移默化的作用。因此，教师在教学过程中应多挖掘行之有效的教学方法，让学生在实变函数的学习过程中领会到其极富创造力的新方法和新思想。

2 教师精讲与学生自学相结合

实变函数课程里的内容非常多，如果教师上课时面面俱到，肯定没有时间留给学生去思考，学生就会在这种不间断的灌输中感到疲惫，逐渐产生厌学情绪，进而出现了逃课现象。教师的作用不能是灌输，而是精选出在整个课程中承上启下、多处应用到的有关概念或定理，精讲典型例子以及常用方法、技巧和思想。比如，可测函数列的收敛性问题要精讲，但可测函数的构造中的鲁津定理可以略讲，让学生自学，了解其意义。再如函数的连续、收敛概念的教学，可以指导同学们对比数学分析中的连续、收敛进行自学，找出异同。在教学过程中，教师应更好地引导学生思考，让他们用自己的方式来理解和记忆知识。另外，一些比较复杂的证明过程可以省掉或者结合多媒体进行教学，这样节省下来的时间用于学生自学。对自学的内容，教师应事先编写自学大纲，提出问题，让学生带着问题去学习，让学生在自学的过程中注重实变函数与数学分析的知识结构联系，在比较和分析中完成整个学习过程。

3 渗透数学史，提高学生学习兴趣

实变函数中的概念比较抽象，如果一直采用纯粹的概念、理论加推导的教学方式，学生很容易失去兴趣，更难深刻理解相关概念，上课走神也就不足为奇了。现在，许多学生在学习实变函数时，只追求课后习题答案，对这门课程的历史背景一无所知。为了避免这种现象，在教学过程中应注意数学思想史的渗透。这不仅有助于学生加深对概念的理解，同时也拓广了学生的知识面，提高了学生的创新思维能力。比如勒贝格积分是实变函数的核心内容，是函数论的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。在数学家哈纳克、波莱尔等工作的基础上，勒贝格于1902年在其博士论文《积分、长度与面积》中，对于测度论和积分理论进行了深入的研究，提出了可测函数与勒贝格积分理论。这些背景知识的介绍不仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以引导学生树立对新现象和新事物的正确态度。

4 结合数学软件，巩固理论知识

在高等院校中，实变函数课程属于纯理论分析课程，在教学过程中比较注重概念分析和原理的推导过程，而较少使用计算机软件（如Matlab、Mathematica）帮助分析问题。实变函数课程中概念和定理证明较多，单纯使用人工推理，会导致学生学习兴趣不高。因此，在教学过程中可以多使用计算机软件来进行分析问题、解决问题，并指导学生去尝试基本应用，则会开阔学生视野，提高学习积极性。比如一个无限集可以与它的真子集等价，这对于初学者难以理解。借助Mathematica，可以给出函数tanπx-的图像，它确定了从（-∞，+∞）到（0，1）的一个一一映射，这有助于学生对这一“反常”事实的理解。再如阐明勒贝格积分的基本思想是至关重要的，除了用日常生活中“数硬币”的两种不同方式来通俗地说明黎曼积分与勒贝格积分的思想外，还可借助Mathematica更生动、丰富地展示其联系和区别。因此，计算机软件的引入，对激发学生学习实变函数的兴趣，提高学生的动手能力和思维能力，拓展学生的知识面等方面都有很重要的作用。

5 结语

针对实变函数课程特点，结合学校的具体教学情况，因地制宜地开展该课程的教学工作，对任课教师来说的确是一项重要的挑战性工作。为此，任课教师要不断地改进其教学方法，有效地调动学生的学习兴趣，使学生变被动学习为主动学习，让老师和学生共同感受到教学方法革新的乐趣，这样实变函数的教学质量也就提高了，教学大纲的要求也就顺利达到了。

【参考文献】

[1]程其襄，张奠宙，等.实变函数与泛函分析基础[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]张小红.Mathematica在实变函数教学中的应用[J].数学的实践与认识，2013，43（20）：250-254.

[3]苏孟龙.《实变函数》教学中的几个难点解析[J].教育教学论坛，2014，9：247-248.

[4]宋文，胡艳红.在实变函数教学中渗透数学思想史的体会[J].继续教育研究， 2012，5：158-160.

[责任编辑：汤静]